Analisi limite dei telai. Calcolo moltiplicatori di collasso

Esercizi: Moltiplicatore di collasso

Analisi limite dei telai

Per il calcolo del moltiplicatore di collasso si utilizzano i teoremi dell'analisi limite ovvero il teorema del moltiplicatore staticamente ammissibile (MSA) e il teorema del moltiplicatore cinematicamente ammissibile (MCC). In particolare λ_s ≤ λ ≤ λ_c quindi se il M.S.A. e M.C.C. coincidono abbiamo trovato il moltiplicatore di collasso.

Esercizio 1

Calcolare il moltiplicatore di collasso λ_c per il telaio in elevamento.

Calcolare il moltiplicatore staticamente ammissibile

Dobbiamo normare le funzioni tensione (momento, sforzo normale e taglio) per un campo di tensioni equilibrato. Per le aste inflessibili è possibile considerare le funzioni momento trascurando taglio e sforzo normale.

Ovviamente in ogni sezione deve essere verificata la condizione di ammissibilità plastica ovvero M ≤ M_p. Per i pendii: N ≤ N_p.

Esercizi: Moltiplicatore di collasso

Analisi limite dei telai

Per il calcolo del moltiplicatore di collasso, si utilizzano i teoremi dell'analisi limite ovvero il teorema del moltiplicatore staticamente ammissibile e il teorema del moltiplicatore cinematicamente compatibile. In particolare λ_s <= λ_c <= λ_d quindi se il M.S.A. e M.C.C. coincidono abbiamo trovato il moltiplicatore di collasso.

Esercizio 1

Calcolare il moltiplicatore di collasso _c per il telaio in elevato:

1. Calcolo moltiplicatore staticamente ammissibile

Dobbiamo minimizzare le funzioni tensione (uscente, sforzo normale e taglio) da un campo di tensioni equilibrate. Per le aste inflancate è possibile considerare le funzioni momento trascurando taglio e sforzo normale.

Ovviamente in ogni schemi deve essere verificata la condizione di ammissibilità plastica ovvero M_i <= M_p. Per i pendii N_i <= N_p.

La struttura in esame. Tre volte ipostatico. Scegliamo come incognite ipostatiche le reazioni dei pendoli e il momento M in nodo. Scriviamo l'assestato fondamentale.

Si procede alla risoluzione delle schemi 0, 1, 2, 3 ottenre lo schema 0 che deve provare: solamente le forze esterne che (x1, x2, x3 = 0); lo schema 1 ha x1 = 1, x2, x3 = 0 e forze esterne nulle; schema 2 x2 = 1, x1, x3 = 0 e forze esterne nulle; schema 3 x3 = 1, x1, x2 = 0 e forze esterne nulle.

Atteniamo i seguenti diagrammi di momento: 111N ₂ ℓ / 2N ₂ ℓ / 2

Le formule di calcolo: equilibrio esterno la forma:

M = P₁ + x₁M₁ + x₂M₂ - x₃M₃ N_A = 0 M_B = -N_P1 + x₁ - N_P2 l_x N_P1 = -x₂ M_C = -x₁ N_P2 = -x₃ M_D = x₁ M_E = 2P₁ - x₁ - N_P2 l_x M_F =

Il moltiplicatore statico, che può avere effetti sulla fase e su adeguate portate, perciò deve rispettare le condizioni di ammissibilità plastica:

M_y ≤ M_A, M_B, M_C, M_D, M_E, M_F ≤ M_y

Proviamo che le M_B = 2P₀ + x₁ - N_P2 l₂x₂λ = -1/P₀ (M_B - x₁ + N_P2 l_x)

Facciamo le scoperte: dato M_B = M_yx₁ = M_yx₂ = -N_y = -M_y/N_P2lx₃ = -N_y = -M_y/N_P2

Per cui otteniamo: λ = -1/P₀ (-M_y - M_y - M_y N_P2/2) = 3/2 M_y/F₀

Verifica:

M_A = 0, M_B = -M_y, M_C = -M_y, M_D = M_y, M_E = 3/2 M_y - M_y - M_y/2M_F = 0 (Ok)

2) Moltiplicatore cinematicamente ammissibile

Dobbiamo creare un cinematismo includendo le cerniere plastiche (ovvero le cerniere dove le curvature e infine le momenti non raggiungono valori massimi pari a Mp).

Di fatti se ho un meccanismo per n+1 cerniere plastiche dove n non è il numero di iperstaticità della struttura.

Siccome abbiamo 2 cerniere possiamo ottenere un cinematismo aggiungendo 2 cerniere plastiche (infatti 4 cerniere pl.).

Uguagliando il lavoro delle forze esterne (LF) e il lavoro interno ovvero il lavoro delle cerniere plastiche otteniamo le moltiplicatori cinematici.

NB. Nel lavoro interno dobbiamo anche considerare l'eventuale deformazione del pannello.

Deve variare la cinematicità totale φ seno uguali le forze 1 e 2 scarse d'una quantità S = PεΔt

Legno esterno

L_ext = 2F [w_b + w_e] = 2Fθl₁

Legno interno

L_int = MyΔβ + MyΔϕ + Nyδ = My l₂ϕ + My l₂ϕ + My ϕενδ 2= 5Myϕ

L_ext = L_int + ΔL₀

L_int L_ext = 5Myϕ = 5 My2Fθl₁ 2 Fθ

Siccome moltiplicatore statico e moltiplicatore cinematico, il moltiplicatore statico è il moltiplicatore di azione

λ_e = λ₀ - λ_d = 5 My2 Fθ

Esercizio 2

Calces multirezolve staticamente eubiile.

Il trave in esame è tre volte ipostatica. Le famiglie di soluzione è del tipo:

M=M₀+M₁x₁+M₂x₂+M₃x₃

Mettendo in loco i momenti: in a en c otteniamo le restrorio principali.

Si, riportano le soUpiii e, i disegnii per lo odema 0,1,2,3.

M_A = -X₁

M_B = -²/₃ X₁ + X₁ - ²/₃ X₃

M_C = X₂

M_D = 2f_E + ^Δf₁/₃ + X₂ + ^λ/₃ X₃

M_E X₃

Delle **** questa espressione riseco ∆∆ = (1 / Fe) (1/3 x₁ + x₂ + 1/3 x₃ - Mo)

Effettuiamo la seguenti ipotesi (con lo scopo di minimizzare ∆)

x₁ = My x₂ = My x₃ = My Mo = -My

Stendo effetti e verifico l'ammissibilità plastica

otteniamo λ₂ = 8/3 My / Fe

Verifica: Ma = -My Mb = -1/3 My Mc = My Md = -My Me = My

De soddisfa l'ammissibilità plastica.

2) Multiplicità cinematicamente compatibile

Strutture 3 volte iperstatiche. Rei calende labile e creare un cinetismo servono 4 cerniere plastiche (minimo).

Ipotesi 1. Ipotizzare le seguenti cerniere:

Fint = L² My φ

Fext = FdlφΔ Φ - 4 Ml / Fe

Seconda ipotesi:

La cinematicamente precedente di un meccanismo "può" ricevere energia minimizza le velocità perché provoca un effetto cinematico particolè (vediamo se otteniamo un moltiplicatore più piccolo)

ϕ_int = 8 Mf ϕ

ϕ_ext = λg Mh 2fϕ

p = 32fϕ

Pb = ₈/³ Mf fϕ

Siccome il meccanismo statico e cinematico similare otteniamo le moltiplicatore di carico

Qa = Qb = Qc = ₈/³ Mf fϕ

Esercizio 3

(1) Moltiplicatore statico

Le famiglie di soluzioni è del tipo: M = M₀ + X₁M₁ + X₂M₂

MAMA = 5AFe + 3X₂

MCMC = 5AFe + 3X₂

MC = 1.0AFe + (e/√3)x₁ + 2X₂

MDMD = 3AFe + X₂

MFMF = 0

MEME = —X₂

NFNF = -x₁

1^o Tentativo

Ricavare d da M_c

d = (M_c - N_s x₁ - x₂) ^ℓ⁄_4FE

Assumiamo: M_c = M_y x₁ = -N_s - N_g = -M_y⁄φ = -M_y⁄N_sℓ⁄₂ x₂ = -M_y

Riteniamo d = ^1M_y⁄_{20 FE}

Verificare:

M_A = ³⁄_4My → verifica sul solido forte perde M_A > M_y

2^o Tentativo

Ricavare d da M_b

d = (N_p - x₂) ^ℓ /_3FE

Ipotesiamo: M_D = M_y, x₁ = -^2M_y⁄_Nsℓ, x₂ = -M_y

d = ²⁄_{3My ℓ}

Verificare:

M_A = ¹⁄_4My, M_B = ¹⁄_3My, H_C = ⁴⁄_15My, M_D = M_y, M_E = M_y; M_F = 0

N_p = N_y

Le verfiche risultano soddisfatte, d = ²⁄_{3My ℓ}

u_A = u_B = u_C = u_D = u_E = -²⁄_{N S} δ

w_A = w_B = w_C = w_D = ^δ⁄_{N S}

u_E = φ₂ ℓ = -^{2 δ}⁄_{N S} → δ = ^{N S}⁄₂ φ₂ ℓ

w_D = φ̇₁ ℓ = ^δ⁄_{N S} → δ = N S φ₂ ℓ

Σint = Mγ Δφ_ρ + Mγ Δφ_ε = 2 Mγ φ̇

F_ext = 8 F φ₀

Δ = ²⁄₈ Mγ ⁄ Fφ → φ₀ = 2α = α_c = -2⁄3 ^Mγ⁄_Fφ

Esercizio 4

1) Moltiplicatore staticamente equivalente

Soluzione 0

Solve "1"2LH1

Solve "2"H21/S

Systeme de solve:

HA = -x1

MB = -x1

MC = _rA/₂ -₁/₂x1 -₁/_NSe x2

MD = 0

NP = -x2

Recevons J de NC, avons ? = (MC + _x1/₂ + e x2) ₂/_FS

Puis: MC + My, x1 = My, x2 = Ny = My /_e = _2My/_NSQ

Avons _Qe = _r1/_{s M}/_FL

Ele limitate "envisagee" precise

Moltiplicatore a ventaglio semplice

L’escursione del pistone è: Δu = v₁cosα + w₂cosγϕ = 2πFEβ

ext = 4/5 Myϕ

λ = 4/5 My/FE → λa = λx = -λc = 4/5 My/FE

Esercizio 5au

(1) Moltiplicatore staticamente equivalente struttura 2 volte iperstatica

Riscriviamo

M_A = -λFQ - 2X₂

M_B = -X₁

M_C = ¼ λFQ - ½ X₁ - ½ X₂

M_D = -X₂

M_E = λFQ - X₁ + X₂

M_F = ¾ λFQ - ½ X₁ + ½ X₂

1^o Tentativo

Scegliamo di esprimere il moltiplicatore di λ_C

Trovavo λ = ¹/_FE (4λ_C + 2x₁ + 2x₂)

Sostituisco x₁ = M_y, x₂ = M_y, λ_C = 4M_y → λ = ¹/_FE 8 M_y

Questo moltiplicatore non rispetta l'ammissione plastica, infatti sostituendo derivava:

M_A = 10M_y M_E = 8M_y M_F = 8M_y

2^o Tentativo

Scegliamo M_F

Ovvero: λ = ¹/_FE (⁴/₃ M_F + ²/₃ x₁ − ²/₃ x₂)

Ipotesi: x₁ = M_y x₂ = −M_y M_F = M_y

Ottengo λ = ²/₃ ^M_y/_FE

Sostituendo per le verifiche:

| M_A, M_B, M_C, M_D, M_E, M_F | ≤ M_y

Rispettavo quindi l'ammissione plastica.

Per cui λ₂ = ²/₃ ^M_y/_FE