Lezioni parte 1, Matematica generale

1 prima parte matematica generale

Funzione

Funzione f: legge che ad ogni elemento x di A, dove A e B sono insiemi, f : A → B associa uno e un solo elemento y di B.

Insieme A = classe di studenti.

1° esempio: insieme B = mamme di tutto il mondo.

f = legge che ad ogni studente dell'insieme A associa la propria mamma dell'insieme B.

A B O O O O è una funzione perché per ogni x di A O O O O O si ha uno ed uno solo y di B per ogni O O O O studente c'è una e una sola mamma O O O.

Se ci sono due fratelli.

Insieme A = classe di studenti.

2° esempio: insieme B = persone 0-50 anni.

f = legge che ad ogni studente dell'insieme A associa il proprio fratello dell'insieme B.

A B non è una funzione perché: O O ha 1 fratello O 1. per ogni x di A non c'è un y di B O O O es. non hanno O O O O figlio unico nessun fratello O O O O 2. per ogni x di A ci sono più di una O O O sola y di B es. uno studente ha due fratelli ha 2 fratelli.

A = dominio di f (tutti i valori che x può assumere).

B = codominio di f (tutti i valori che y può assumere).

A B O O y = f(x) x y.

y variabile dipendente = immagine di x Im x.

x variabile indipendente = controimmagine di y Im y.

A B Im(f) = f(A) = {y B : x A tc f(x)=y} ∈ ∃ ∈.

O O l'immagine di f, cioè f di A, corrisponde O O O all'insieme degli y appartenenti a B O Im (f) per i quali esiste un x appartenente ad O O O O A tale che f(x) = y.

L'insieme immagine è dato dall'insieme di tutti i valori di B effettivamente riconducibili ad A.

Funzione iniettiva

Funzione iniettiva = ad elementi distinti del dominio associa elementi distinti del codominio.

f(x') = f(x'') → x' = x''.

Se per ogni x1, x2 appartenenti al dominio f(x1) = f(x2) implica che x1 = x2.

A B la funzione del primo esempio non è O O f(A) iniettiva perché se ci sono due studenti tra di O O loro fratelli, a loro si associa una sola mamma O O (a 2 x corrisponde 1 solo y) O O O.

y = f(x) è equivalente a x = f¹(y) x;y y;x.

Se la funzione è iniettiva si può inoltre considerare.

Funzione inversa

Funzione inversa = ha come codominio l'insieme immagine e da questo permette di tornare indietro fino alla controimmagine.

f¹(y)=x → y= f(x).

Pertanto y = f¹(x).

Il grafico è il simmetrico del grafico di f(x) rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

NB si può considerare la funzione inversa solo sulla base di una iniettiva perché ad ogni elemento di B deve corrisponderne uno e uno soltanto di A (nel primo esempio non si ha una funzione iniettiva perché a 1 y sono associate 2 x).

Funzione suriettiva

Funzione suriettiva = l'insieme immagine corrisponde al codominio della funzione: ogni elemento di B è immagine Im(f) = B di almeno un elemento di A.

A B la funzione del primo esempio non è suriettiva O O perché ci sono alcune mamme che non sono O O mamme degli studenti della classe, cioè alcune O O y di B non si associano alle x di A O O O.

Funzione biiettiva

Funzione biiettiva = se la funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva; ogni elemento di B è immagine di uno e un solo elemento di A e l'insieme immagine corrisponde al codominio.

A B O O O O O O O.

D'ora in poi prenderemo in considerazione solamente insieme di numeri reali al codominio, sottoinsieme di numeri reali al dominio.

f : A → R A R ⊆.

f = funzione di variabile reale a valori reali.

Quindi bisogna considerare che:

• Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre possibili.
• La divisione è possibile solo se il denominatore è diverso da 0: D di una funzione razionale fratta è l'insieme R dei numeri reali per i quali non si annulla il denominatore.
• Un radicale di indice dispari è definito purché esista il radicando.
• Un radicale di indice pari è definito purché il radicando esista e sia ≥ 0.
• Il logaritmo ha significato se l'argomento è positivo e la base è un numero positivo diverso da 1.
• La funzione esponenziale con base (costante) positiva esiste purché esista l'esponente (variabile), es. 2^ x.
• La potenza con base variabile e esponente costante irrazionale positivo è definita solo per i valori della base ≥ 0 x^ e.
• La potenza con base ed esponente variabili si considera solo quando la base è ≥ 0 x^ x.

Grafico della funzione

Grafico della funzione: l'insieme delle coppie ordinate (x e f(x)) dove x G(f)= {(x, f(x)) x A } appartiene a A, essendo A il dominio di f ∈.

Coppie ordinate = coppie in cui è importante l'ordine: (1;2) è diverso da (2;1); mentre in un insieme sarebbe irrilevante. Ad ogni punto sul piano del grafico posso associare una coppia ordinata e viceversa.

NB il grafico della funzione è sottoinsieme di R.

A= {1,2,3}.

Esempio: f(x)= 2x + 1.

y 7 1° coppia f(1) = (1;3).

5 2° coppia f(2) = (2;5).

3° coppia f(3) = (3;7).

3 il grafico di f è dato dall'insieme di queste coppie x 1 2 3.

NB y3 questo non è il grafico di una funzione perché all'unico punto y2 di x (x1) y1 corrispondono ben tre diversi punti di y (y1, y2, y3) x1.

y questo è il grafico di una funzione y1 perché ad ogni punto di x (x1, x2, x3) corrisponde uno e un solo punto di y (y1) x.

NB però non è il grafico di una funzione iniettiva x1 x2 x3.

Grafico funzione inversa

f y= f(x) x= f¹(y) x;y y;x.

Punti simmetrici 2 . f¹ rispetto a bisettrice 1 . del 1° e 3° quadrante 1 2.

Grafico della f inversa = simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante.

Funzione pari

Funzione pari: se per ogni x del suo dominio si ha f(-x) = f(x).

Il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Es. f(x) = x è pari? f(-x)=-x -x = x = f(x), quindi sì è pari y. . x-x +x.

Funzione dispari

Funzione dispari: se per ogni x del suo dominio f(-x) = -f(x).

Il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Es. f(x) = x³ è dispari? f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x) .- x +x.

Una funzione è assegnata quando sono assegnate: la legge f, il dominio A e il codominio B.

Se f(x)=x³+2 manca il dominio e perciò si considererà il dominio naturale della funzione (= il più grande insieme sul quale la funzione ha senso).

Esempio 1

f(x)=√(x+5) (x-3) (-x+2).

Condizione: (x+5) (x-3) (-x+2) ≥ 0.

x+5 ≥ 0 = x ≥ -5 -5 +2 +3.

x-3 ≥ 0 = x ≥ 3 ---------------------o++++++++++++++++++++++++++++++++-x+2 ≥ 0 = -x ≥ -2 = x ≤ 2 +++++++++++++++++++++++++++++o----------------------------------------------------------------------------------o++++++++++++ 0 - 0 + 0 -.

D= (- ∞, -5] U [2;3].

Esempio 2

f(x)=√3x²+x+1.

Condizioni: 3x²+x+1 ≥ 0.

NB se il primo coefficiente è positivo, la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, viceversa verso il basso.

• La parabola presenterà 1 intersezione con x se ∆ = 0.
• 2 intersezioni con x se ∆ > 0.
• Nessuna intersezione con x se ∆ < 0.

∆ = b² – 4ac.

1-4(3) = 1-12 = -11 < 0, perciò non ci sarà nessuna intersezione con l'asse delle ascisse.

Esempio 3

f(x) = √ 3x+2 1+2x² -2x -4 x-2.

Condizioni:

3x+2 ≥ 0.

2x² -2x -4x-2 ≠ 0.

(2x² -2x -4 ≠ 0).

3x+2 ≥ 0 = 3x ≥ -2 = x ≥ - 2/3.

2x² -2x - 4 ≥ 0: le equazioni di secondo grado (x²) si risolvono con x = -b +- √ b² – 4 ac 1/2 2a.

2x² - 2x - 4 = 0 2+6 = 24.

x = + 2 + - √4 – 4(-8) = 2 + - √36 1/2 4 4 2-6 = -1 -1 +2.

4a -1 e 2 si annulla.

Prima di -1 e dopo di 2 la x assume valori positivi.

Tra -1 e 2 la x assume valori negativi.

La condizione x ≠ 2 è già soddisfatta -1 -2/3 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ oo_ _ _ _ _ _o- 0 + 0 - 0 +.

D = [-1;-2/3] U