Appunti Metodi Matematici, prof. Claudia Meo

Insieme

Concetto primitivo (non esiste una definizione formale): un concetto non definibile con altri strumenti, definibile in maniera inequivocabile quando puoi stabilire in modo univoco quali elementi ne fanno parte, lasciano per tutti gli elementi.

Descrizione di un insieme

• Per elencazione dei suoi elementi (tra parentesi graffe e separati da virgole).
• Mediante una proprietà caratteristica (non si escludono).

Insieme vuoto: ∅ = {∅}, insieme il cui numero di elementi è pari a 0.

Due insiemi sono (uguali) quando hanno esattamente gli stessi elementi: ∀ x x ∈ A ⇔ x ∈ B.

Es: A = { 2, 4, 6 } B = { 9, 4, 6, 2 } C = { 2, 5, 6 }.

A = B, non importa l'ordine o le ripetizioni di uno stesso elemento.

A ⊂ C e B ≠ C.

Un insieme A è incluso in B (o A è sottoinsieme di B) quando ogni elemento di A è comune in B: ∀ x x ∈ A ⇒ x ∈ B. A ⊂ B (A incluso in B). ∅ ⊂ B {insieme vuoto ed B sono sempre Sottoinsiemi di A}.

L'insieme delle parti di X P(X) è l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X: P(X) = { A | A ⊂ X }.

Es: insieme delle parti delle vocali di questo V = {a, e, i, o, u}. P(x) = { ∅, { a }, { e }, { i }, { o }, { u }, { a, e }, { a, i }, { a, o }, { a, u }, { e, i }, { e, o }, { e, u }, { i, o }, { i, u }, { o, u }, { a, e, i }, { a, e, o }, { a, e, u }, { a, i, o }, { a, i, u }, { a, o, u }, { e, i, o }, { e, i, u }, { e, o, u }, { i, o, u }, { a, e, i, o }, { a, e, i, u }, { a, e, o, u }, { a, i, o, u }, { e, i, o, u }, { a, e, i, o, u } }.

Insiemi

Insieme → concetto primitivo (non esiste una definizione formale), definibile in maniera inequivocabile quando: posso stabilire in modo univoco quali elementi ne fanno parte.

Descrizione di un insieme

• Per elencazione dei suoi elementi.
• Mediante una proprietà caratteristica.

Insieme vuoto → {}: insieme il cui numero di elementi è pari a 0.

Due insiemi sono (uguali) quando hanno esattamente gli stessi elementi: ∀x x ∈ A ⇔ x ∈ B.

Esempio: A = {2, 4, 6} B = {2, 4, 6, 6, 2} C = {2, 5, 6}.

A = B.

A ⊆ C    e    B ≠ C.

Non importa l'ordine o le ripetizioni di uno stesso elemento.

Un insieme A è incluso in B (o A è sottoinsieme di B) quando ogni elemento di A è comune in B: ∀x x ∈ A ⇒ x ∈ B. A ⊂ B (A incluso in B).

L'insieme vuoto ed A sono sempre sottoinsiemi di A.

L'insieme delle parti di X, P(X) è l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di X. P(X) = {A | A ⊆ X}.

Esempio: insieme delle parti delle vocali di questo.

Sottoinsiemi

• {}
• {a}
• {e}
• {i}
• {o}
• {u}
• {a, e}
• {a, i}
• {a, o}
• {a, u}
• {e, i}
• {e, o}
• {e, u}
• {i, o}
• {i, u}
• {o, u}
• {a, e, i}
• {a, e, o}
• {a, e, u}
• {a, i, o}
• {a, i, u}
• {a, o, u}
• {e, i, o}
• {e, i, u}
• {e, o, u}
• {i, o, u}
• {a, e, i, o}
• {a, e, i, u}
• {a, e, o, u}
• {a, i, o, u}
• {e, i, o, u}
• {a, e, i, o, u}

Operazioni tra insiemi

• Unione di A e B (A ∪ B) → elementi appartenenti ad A e B. A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
• Intersezione di A e B (A ∩ B) → elementi comuni ad A e B. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Quando A ∩ B = { } ⇔ A è disgiunto da B.
• Differenza tra insiemi A e B (A ∖ B) → elementi che appartengono ad A ma non B. A ∖ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}. A ∖ B ≠ B ∖ A.
• Complementare di A rispetto ad insieme di riferimento U (A^C): elementi di U che non appartengono ad A ⇒ A^C = {x ∈ U : x ∉ A} (anche definito come U ∖ A).
• Prodotto cartesiano tra insiemi (tra infiniti insiemi).

Dati due insiemi A, B, si definisce prodotto cartesiano (A x B) l’insieme delle coppie (a,b) in cui il primo elemento varia in A e il secondo in B: A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Es: A = {1,2} B = {3,4,5}.

A x A = A² = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}.

B x B = B² = {(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)}.

A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}.

{ B x A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)}.

Insiemi numerici

Insiemi numerici (insiemi composti da numeri).

Insieme dei numeri naturali, N = {1, 2, 3, ...} + somma . prodotto