L'equazione di Schroedinger

L’equazione di Schroedinger

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 11/04/2004)

La meccanica quantistica è il regno dell'indeterminazione, cioè dell'impossibilità di determinare

contemporaneamente sia la posizione che la velocità di una particella (ad esempio un elettrone).

Benché essa una disciplina fisica, rivolta cioè allo studio della realtà, seppur microscopica, che ci

circonda, la meccanica quantistica è dominata dalla matematica, in una maniera estremamente

differente da qualsiasi altro ambito della fisica. L'equazione d'onda di Schroedinger, un'equazione

differenziale alle derivate parziali, ne è l'esempio più ecclatante:

Essa permette di calcolare, in un qualunque campo di energia potenziale quella che è

U(x,y,z,t),

chiamata la Ψ (x,y,z,t). Che cos'è la funzione d'onda di una particella? Non è

funzione d'onda

proprio nulla, non ha alcun significato fisico, si tratta solo di un oggetto puramente matematico

avente le stesse caratteristiche di un'onda (frequenza e numero d'onda) per mezzo del quale è

possibile identificare la particella. L'unica cosa che è possibile dimostrare è che il suo modulo

2 è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in un determinato

elevato al quadrato |Ψ

Ψ|

punto ed in un certo istante di tempo. Non essendo possibile determinare esattamente la posizione di

una particella, l'equazione di Schroedingher dice invece dove è più probabile trovarla e dove è

meno probabile: abbiamo cioè una distribuzione di probabilità. Il principio di indeterminazione di

Heisenberg "peggiora" ulteriormente le cose, affermando che tanto più è precisa l'informazione

sulla velocità (cioè sulla quantità di moto) di una particella, tanto meno è precisa quella sulla

localizzazione. Non c'è dunque nessuna speranza di sapere tutto su di una particella elementare, ci

scapperà sempre qualcosa!

Un'ultima curiosità: si parla di "equazione d'onda" perchè la struttura dell'operatore differenziale è

quella tipica dei fenomeni ondulatori che si studiano in fisica. Ma allora le particelle fondamentali,

come ad esempio gli elettroni, sono particelle, come si suole chiamarle, oppure onde? Neppure per

questa semplice domanda c'è una risposta univoca, in quanto in un certo senso le particelle sono

entrambe le cose! Esistono noti esperimenti in cui esse si dimostrano essere entità materiali, dotate

di massa, e dunque "numerabili", ma anche tanti altri (come la diffrazio