L'elettromagnetismo

Appunti di fisica 2

Elettro-magnetismo

Università della Calabria

Dipartimento di Ingegneria Ambientale

Prof. Marco Papagno

A.A. 2021/2022

Appunti di Emanuele Antonio

Sommario

• Indice delle figure .............................................................................................................................................. 1
• Introduzione................................................................................................................................................... 2
• Concetti sui vettori ........................................................................................................................................ 2
• Capitolo 1 ....................................................................................................................................................... 3
• L'elettro-magnetismo ........................................................................................................................................ 3
• Elettro-statica ................................................................................................................................................ 3
• Il campo elettrico ........................................................................................................................................... 4
• Il teorema di Gauss ........................................................................................................................................ 7
• I conduttori e gli isolanti ................................................................................................................................ 8
• Il potenziale e l'energia potenziale elettrica ................................................................................................. 9
• La circuitistica .............................................................................................................................................. 10
• La forza elettromotrice ................................................................................................................................ 11
• I condensatori .............................................................................................................................................. 12
• I circuiti RC ................................................................................................................................................... 13
• Capitolo 2 ..................................................................................................................................................... 14
• Il magnetismo .................................................................................................................................................. 14
• Legge di Biot-Savart ..................................................................................................................................... 14
• Legge di Ampere .......................................................................................................................................... 15
• Il solenoide .................................................................................................................................................. 16
• Induttori e il fenomeno dell'auto-induzione ............................................................................................... 17
• I circuiti RL ................................................................................................................................................... 18
• La legge di Maxwell-Ampere ....................................................................................................................... 19

Indice delle figure

• Fis 1 .................................................................................................................................................................... 2
• Fis 2 .................................................................................................................................................................... 3
• Fis 3 .................................................................................................................................................................... 4
• Fis 4 .................................................................................................................................................................... 5
• Fis 5 .................................................................................................................................................................... 6
• Fis 6 .................................................................................................................................................................... 7
• Fis 7 .................................................................................................................................................................... 7
• Fis 8 .................................................................................................................................................................... 8
• Fis 9 .................................................................................................................................................................. 10
• Fis 10 ................................................................................................................................................................ 11
• Fis 11 ................................................................................................................................................................ 13
• Fis 12 ................................................................................................................................................................ 13
• Fis 13 ................................................................................................................................................................ 14
• Fis 14 ................................................................................................................................................................ 16

Introduzione

Concetti sui vettori

Partiamo con il fissare alcuni concetti fondamentali e che saranno necessari successivamente con il proseguire degli argomenti, diamo dunque una distinzione tra grandezza scalare e grandezza vettoriale. Si definirà grandezza scalare una qualsiasi grandezza esprimibile con un’unità di misura positiva (es. tempo, pressione, temperatura, etc.) mentre una grandezza scalare invece è dato da unità di misura che possono assumere più valori sia positivi che negativi (es. velocità, spostamento, lavoro, etc.), inoltre i primi verranno indicati con una lettera minuscola (es. a) mentre i secondi con una linea sopra la lettera (es. \(\overline{a}\)).

Ogni vettore oltre a possedere alcune caratteristiche quale direzione, modulo e verso potrà essere soggetto a varie operazioni quali:

• Somma o differenza vettoriale il quale ci darà un terzo vettore pari alla somma dei due. Per poter procedere con questo metodo però è necessario utilizzare la regola del parallelogramma.
• Prodotto vettoriale che ci restituirà un vettore.
• Prodotto scalare che come risultato ci darà uno scalare.

Ad ogni operazione attribuibile ai vettori in particolar modo la prima può essere soggetta a proprietà come associativa, commutativa e altre proprietà. Altri concetti basilari riguardano la definizione di modulo ossia la lunghezza di un vettore ed esso sarà definito quando ne sarà definito l’angolo compreso, ed infine il concetto di versore ossia un vettore che però possiede modulo unitario. A questo possiamo aggiungere che ogni vettore potrà essere scomposto possedendo due componenti, una lungo l’asse x e una lungo l’asse y (vedi figura Fis 1).

Capitolo 1

L'elettro-magnetismo

L'elettro-magnetismo è una correlazione di studi tra i fenomeni elettrici e fenomeni magnetici, questa affermazione non solo sarà confermata dalle equazioni di Maxwell come vedremo in seguito essere:

\[ \begin{align*} \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}, \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0, \\ \nabla \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \\ \nabla \times \vec{B} &= \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}. \end{align*} \]

Dove in particolare le prime due fanno riferimento al campo elettrico mentre le ultime due fanno riferimento al campo magnetico, inoltre si potrà notare che la terza equazione sarà nulla in quanto non esistono monopoli magnetici ma sempre un polo nord ed un polo sud a differenza del campo elettrico mentre la seconda e la quarta assumeranno quei valori in quanto un elettrone muovendosi genera un campo elettrico e viceversa un magnete muovendosi genera un campo magnetico. Si potrà dunque evincere una relazione tra le due, relazione che precedentemente alla stesura di queste equazioni venivano considerati come fenomeni distinti e non correlati tra loro.

Elettro-statica

I fenomeni elettro-statici sono particolari fenomeni che si verificano ogni qualvolta si va ad analizzare delle cariche elettriche ferme o parzialmente in movimento in modo da evitare che i movimenti dati dalle cariche generino dei campi. Come ben sappiamo la materia è costituita da atomi che a loro volta sono formati da elettroni, neutroni e protoni che possiedono dunque delle cariche positive, negative e neutre. Tuttavia possiamo indurre una carica ad un corpo, basti pensare un corpo che venga strofinato con un panno eliminando dunque la neutralità. Se a questo corpo carico positivamente (e a cui dunque abbiamo sottratto elettroni) facciamo avvicinare un corpo, questo si avvicinerà attraendo a sé gli elettroni dell’altro corpo.

Potremo dunque distinguere due tipi di corpi, un conduttore ossia sistemi in cui le cariche elettriche sono libere di muoversi nello spazio ed un isolante ossia sistemi in cui le cariche elettriche non sono liberi di muoversi. Si ipotizzi di avere un sistema in cui è presente una carica elettrica, questa se non vi è nulla non subirà nessuna interferenza e rimarrà lì dove vi è stata posizionata, ma se in dato istante aggiungessimo un'altra carica la prima subirebbe variazioni e verrebbe attratta o respulsa in base al segno della carica, essa dunque sarà soggetta ad una forza che prenderà il nome di forza Coulombiana (vedi figura Fis 2). Questa potrà essere espressa con la seguente formulazione:

\[ \vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} \]

Con k che prenderà il nome di costante Coulombiana ed assumerà il valore di \(8.987 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\) o esprimibile anche come \(1/(4\pi \epsilon_0)\) con \(\epsilon_0\) costante dielettrica che assume il valore di \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2\), q invece si misura in Coulomb che risulta essere una grandezza derivata, proveniente infatti da i che ne è la carica elettrica in quanto:

\[ q = ne \]

Con q che rappresenta la quantità elettrica, essa si prende in quanti ed il suo valore è sempre costante ed è pari a \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\). Ogni quantità elettrica ne sarà multiplo di q. Ogni quantità elettrica si conserva possedendo così delle proprietà intrinseche quali principio di conservazione e della sovrapposizione degli effetti tra i tanti.

Il campo elettrico

In fisica possiamo avere diversi tipi di campi il quale potranno essere di tipo scalare, ossia dati da grandezze fisiche ben definite (come può essere la temperatura, la pressione o altre grandezze fisiche) e poi possiamo avere i campi di tipo vettoriale caratterizzati dal possedere sempre tre caratteristiche quali direzione, modulo e verso riconducibili appunto ai vettori. Fanno parte di quest’ultimo gruppo i campi elettrici ossia campi di tipo vettoriale generati nello spazio da cariche elettriche. Affinché possa essere studiato si utilizza generalmente una carica di prova sempre positiva che verrà posizionata in vari punti dello spazio per capirne il comportamento che una generica carica Q produce se viene perturbata, in modo da poter verificare se la carica di prova verrà attratta o respinta per poter successivamente effettuare le opportune considerazioni (vedi figura Fis 3).

Inoltre si potrà notare che a parità di condizioni la forza che agisce sulla carica di prova è proporzionale alla carica stessa e inversamente proporzionale alla distanza tra la carica sorgente e la carica di prova, come descritto dalla legge di Coulomb.