L'evoluzione della logica: da Aristotele a Turing e oltre

Il libro si presenta come una storia della filosofia e della matematica insieme, in considerazione del fatto che da Platone a Leibniz “umanesimo e scienza sono state considerate due facce complementari di una stessa medaglia”?. Odifreddi ci propone alcune vicende intellettuali della matematica come se fossero semplici storie: le avventure dei maggiori logici e le loro massime conquiste intellettuali.

Evoluzione della logica aristotelica

La logica è lo studio del pensiero come esso si esprime attraverso il linguaggio e deve guidarci nella scoperta della verità ; essa nasce nel momento in cui il pensiero umano separa il vero dal falso. Il primo a parlare della logica in tal senso fu Parmenide e le sue idee vennero poi sviluppate da Platone, ma soprattutto da Aristotele. La logica di Aristotele ”“ nota come “classica”? ”“ non fu messa in discussione fino al Novecento, a dimostrazione di quanto fosse avanti rispetto ai tempi: essa “giunse a completa maturità  matematica, superando finalmente i suoi infantili e paradossali vagiti metafisici”?. In contrapposizione alla logica aristotelica, si sviluppò quella stoica: Aristotele e Crisippo, esponente più importante della scuola stoica, possono essere considerati, a pari merito, i massimi logici dell'antichità . Quest'ultimo forgiò gli strumenti essenziali della logica preposizionale e diede contributi essenziali alla matematica.

Contributi di Lullo e Leibniz

Nel 1274, Lullo abbozzò un'idea che solo nel Novecento si rivelerà  in tutta la sua potenza: scomporre le nozioni linguistiche e assegnare a queste dei numeri. Voleva, in altre parole, tradurre il linguaggio naturale in quello numerico: aveva addirittura progettato un prototipo di meccanismo per automatizzare il pensiero, un lontano precursore dei moderni calcolatori. Il lavoro di Lullo influenzò Leibniz, che nel 1666 lo citò nella sua Ars combinatoria, nella quale si proponeva di ridurre il pensiero all'aritmetica. In quest'opera, troviamo anche un abbozzo dell'aritmetica binaria, il linguaggio ufficiale dell'informatica.

Rivoluzione di Boole nella logica

George Boole fu il primo a capire il vero segreto dell'aritmetica binaria. Modesto professore, riuscì a far uscire la logica dalla filosofia, facendola entrare nel campo delle scienze: “Dopo il terremoto prodotto da Boole, la logica ha quindi cessato di essere un'occupazione per soli filosofi, psicologi e linguisti, com'era stata fino a metà  Ottocento e ha invaso gli istituti e le facoltà  di matematica, di informatica, di ingegneria e di scienze cognitive”?. Compì l'analisi algebrica della logica sillogistica di Aristotele e di quella preposizionale di Crisippo, riconoscendo la nascosta complementarità  dei due approcci. L'idea di Boole era molto semplice: le problematiche della logica preposizionale venivano ridotte a un semplice e banale calcolo. L'algebra di Boole divenne la base, nel 1938, per l'ingegnere Claude Shannon, della teoria dell'informazione, visto che ogni cosa venne tradotta in termini di circuiti elettrici o elettronici.

Sfide e scoperte del Novecento

Agli inizi del Novecento, Gottlob Frege era convinto di poter fondare l'intera matematica sulla logica, ma una lettera di Bertrand Russell mise in evidenza una contraddizione, che determinò la fine delle tesi di Frege e il fallimento della pubblicazione del suo lavoro. Nel 1921, Wittgenstein ritenne di aver realizzato la soluzione finale del problema logica: per lui il linguaggio era riducibile alla logica proposizionale. Per la geometria, la negazione del postulato delle parallele, nella prima metà  dell'Ottocento, da parte di Nikolaj Lobačevskij e Jà¡nos Bolyai, fornì una risposta alternativa a quella euclidea, ma al tempo stesso fece perdere a questa branca della matematica parte della sua credibilità . Hilbert propose di ritrovare la fiducia mediante una riduzione della geometria all'analisi, ovvero alla teoria dei numeri reali. Il nuovo stile fu applicato non solo alla geometria, ma a tutte le branche della matematica, logica compresa, per la quale il maggiore problema divenne quello della completezza. Gödel e Turing dimostreranno l'irrealizzabilità  di questo programma. Gödel preferì affrontare di petto le principali questioni fondazionali della logica e della matematica: il suo lavoro è considerato il contributo più importante che la logica matematica abbia mai ricevuto, egli la cambiò per sempre con i suoi risultati, riuscendo a raggiungere profondità  inimmaginabili in precedenza. Nella sua tesi di dottorato del 1931 scoprì che non era possibile estendere il teorema di completezza alla matematica: nel sistema ci sono affermazioni indecidibili. In altre parole, i teoremi di incompletezza dimostrano che la matematica non è riducibile alla logica. Alan Turing, nella sua tesi di laurea, aveva concepito il “calcolatore”? con tecniche di progettazione uguali a quelle usate da Gödel per i suoi teoremi di incompletezza. Sfruttò l'analogia tra i sistemi matematici e i programmi informatici per trasformare la formula non dimostrabile di Gödel in un'operazione non calcolabile, il problema della fermata, scoprendo l'indecidibilità  della logica. Il teorema di indecidibilità  esclude la possibilità  che ci sia un meccanismo in grado di distinguere la verità  dalla falsità  così come il teorema di incompletezza esclude la possibilità  di dimostrare tutte le verità  in matematica. Daniela Molinari