Esplora le isometrie nel piano con CABRI: una prospettiva matematica per organizzare la realtà

Scuola di specializzazione per l’insegnamento secondario della Toscana

Sede di Firenze

VIII ciclo

II anno

Indirizzo: Scienze Naturali – Classe: A059

Relazione di tirocinio di Matematica

Le isometrie nel piano con CABRI

Supervisore: Specializzanda:

prof.ssa Sandra Gavazzi Maria Carla Palmeri

Tutor d'aula:

prof.ssa Anna Zanini Anno accademico 2007-2008

Indice

Percorso didattico di matematica 3

Titolo del percorso didattico 3

Discipline interessate 3

Classe di riferimento e collocazione nel tempo scuola 3

Premessa: l’uso di software geometrici interattivi nella didattica 3

Motivazione della scelta 5

Metodologie didattiche utilizzate 5

Competenza e descrittori di competenza 7

Fasi del percorso di matematica 8

Fase 1: Cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto... 8

Fase 2: Prima attività in laboratorio 9

Fase 3: Prima lezione in aula 10

Fase 4: Seconda attività in laboratorio 12

Fase 5: Seconda lezione in aula 13

Fase 6: Terza lezione in aula 14

Fase 7: Terza attività in laboratorio 15

Fase 8: Geometria con CABRI... ci ripenso 16

Fase 9: Vediamo cosa abbiamo capito! 16

Come si è svolto il percorso di matematica 17

Le conoscenze pregresse e le aspettative dei ragazzi 17

Le attività in laboratorio e le lezioni in aula 23

Come gli allievi hanno valutato l’attività con CABRI 28

La verifica 29

Confronto tra libri di testo 30

Conclusioni 32

Schede per il percorso di matematica 33

Cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto... 33

Le isometrie nel piano con CABRI - Prima scheda 34

Le isometrie nel piano con CABRI - Seconda scheda 39

Le isometrie nel piano con CABRI - Terza scheda 46

Esercizi sulle isometrie 54

Geometria con CABRI… ci ripenso 57

Verifica sulle isometrie 59

Bibliografia 62

2

Percorso didattico di matematica

Titolo del percorso didattico

“Le isometrie nel piano con CABRI”

Discipline interessate

Geometria e Informatica

Classe di riferimento e collocazione nel tempo scuola

Il percorso didattico è rivolto a una classe prima della scuola secondaria di primo grado e può essere svolto nel primo quadrimestre.

Premessa: l’uso di software geometrici interattivi nella didattica

Nel contesto disciplinare proprio della matematica, si afferma che, “prima ancora di essere quell’insieme di nozioni concettuali concernenti numeri, operazioni, figure geometriche, formule e così via, la matematica è un modo di rapportarsi con la realtà, di organizzare logicamente i dati della realtà fisica, i pensieri, le attività complesse”. L’apprendimento della matematica passa quindi attraverso l’acquisizione di una particolare attitudine mentale, di un certo modo di organizzare il pensiero, di rappresentare la realtà.

Secondo Bruno D’Amore la costruzione della conoscenza in matematica può essere interpretata come l’unione di “tre azioni” sui concetti: l’insieme delle capacità di rappresentare i concetti in un dato registro linguistico, di trattare le rappresentazioni ottenute all’interno di uno stesso registro e di convertire le rappresentazioni da un registro a un altro.

Oggi la tecnologia favorisce, attraverso i software geometrici, una rappresentazione geometrica “più concreta” della realtà che ci circonda, aiutando a superare le difficoltà sia di astrazione nella rappresentazione grafica, che di manipolazione delle stesse rappresentazioni.

L’utilizzo di software geometrici interattivi, infatti, attiva una migliore integrazione tra aspetti percettivo-motori e momenti di rappresentazione simbolica. Inoltre, il passaggio dall’uso degli strumenti “tradizionali” di rappresentazione dello spazio a quelli informatico-dinamici favorisce lo sviluppo delle capacità di convertire le rappresentazioni dei concetti matematici da un registro a un altro.

L’uso di software interattivi nell’apprendimento della geometria offre anche la possibilità di un immediato feedback tra pensiero e azione rappresentata. L’attività al computer è fortemente caratterizzata dalla presenza di reversibilità perciò di controllo sull’errore; errore che è esso stesso fonte potenziale di auto-correzione.

I software didattici possono avere una impostazione sintetica dell’ambiente in cui avviene lo studio della geometria, cioè indipendente dall’utilizzo delle coordinate, oppure una impostazione analitica, nella quale le operazioni di input e i passaggi intermedi sono studiati facendo riferimento alle coordinate.

Un esempio di software di geometria di impostazione prettamente sintetica è il programma Cabri-géomètre, le cui caratteristiche fondamentali sono la possibilità di deformare dinamicamente le figure ed un’interfaccia utente semplice e intuitiva, poiché le operazioni di base sono realizzabili mediante il solo spostamento del mouse.

L’impostazione sintetica, coerente con l’impostazione dell’insegnamento della geometria nelle fasi iniziali, e la facilità d’uso fanno di Cabri-géomètre uno strumento estremamente valido nella scuola secondaria di primo grado.

Durante il mio secondo anno di SSIS ho svolto come attività di tirocinio attivo un percorso sulle isometrie con Cabri in una prima media. Questo lavoro contiene sia la progettazione del percorso didattico che la descrizione di come si sono effettivamente svolte le lezioni in aula e le esercitazioni al computer con Cabri. Nello studiare i risultati ottenuti ho cercato, in particolare, di analizzare se la visualizzazione al computer degli effetti su varie figure delle diverse isometrie favorisce negli allievi la formazione di appropriate immagini mentali e agevola una corretta costruzione dei concetti.

Credo comunque che la riuscita di un’attività di geometria al computer, così come di qualsiasi altra attività di apprendimento, non possa essere giudicata immediatamente. L’acquisizione di conoscenze e competenze avviene, infatti, attraverso molteplici esperienze (di natura motoria, percettiva, espressiva, psicologica...) e richiede tempi personali, talvolta lenti, di integrazione mentale dei concetti.

In particolare, “la costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico”.

Motivazione della scelta

Poco dopo aver iniziato il tirocinio la mia tutor mi ha proposto di trattare, come argomento per il tirocinio attivo, le isometrie, affiancando alle lezioni in aula delle attività di laboratorio con il software Cabri-géomètre. Sapendo della mia formazione informatica, infatti, la mia tutor ha pensato che la possibilità di condurre parte del percorso didattico al computer mi avrebbe interessata, e che inoltre il mio contributo avrebbe potuto essere utile e stimolante per la classe.

Il percorso didattico lo avrei dovuto svolgere nella classe prima, con la quale la mia tutor aveva appena terminato un’attività in aula di due ore sulle isometrie (traslazione e ribaltamento di figure piane) in continuità con una classe quinta della scuola primaria.

Conoscendo già Cabri (grazie alle lezioni di didattica della matematica alla SSIS) e avendolo trovato uno strumento didattico estremamente valido e interessante, ho subito accolto con grande entusiasmo la proposta della mia tutor.

Metodologie didattiche utilizzate

L’approccio tradizionale nella didattica della matematica pone l’accento sull’insegnamento e sull’apprendimento di leggi, regole e tecniche. Come è ormai noto, tale approccio ha l'effetto di promuovere un atteggiamento passivo nei confronti della matematica: lo studente impara a fornire le risposte che l’insegnante si aspetta, a risolvere esercizi del tutto simili a quelli trattati in classe, a ripetere nozioni senza porsi domande e senza pensare.

Una metodologia didattica diversa da quella tradizionale prevede, invece, che siano gli stessi alunni a formulare ipotesi sulle leggi e le regole che possono descrivere e trattare meglio un fenomeno. L’allievo sviluppa una sua propria conoscenza matematica attraverso l’interazione attiva con l’ambiente che lo circonda e attraverso l’organizzazione del proprio dominio di esperienze.

L’insegnamento della matematica deve quindi privilegiare la costruzione diretta più che l’analisi deduttiva. Ogni astrazione deve essere vissuta a partire dall’esperienza personale: il concreto deve venire prima dell’astratto, i concetti prima dei simboli.

Dal punto di vista metodologico le attività di laboratorio sono particolarmente adatte in quanto permettono non solo di eseguire ma anche di progettare, costruire e manipolare con materiali diversi, discutere, argomentare, fare ipotesi, sperimentare e controllare la validità delle ipotesi fatte.

La sperimentazione diretta, infatti, abitua gli allievi alla ricerca autonoma e li aiuta a sviluppare le capacità di osservazione, l’intuizione, il senso critico e, in generale, alcune fondamentali attitudini di pensiero.

Emma Castelnuovo, da decenni illustre riferimento in didattica della matematica, scrive: “Ci si deve rendere conto che non si deve parlare di un concetto se prima non si conoscono le idee che ha il bambino su questo concetto e che tali idee non vengono sradicate da un momento all’altro, nemmeno dalla più chiara esposizione dell’insegnante. Ma è solo un ritornare continuo all’argomento, un osservare che è più che un percepire, una serena discussione fra compagni che porta alla “costruzione” del concetto; discussione alla quale il professore parteciperà, più per ascoltare che per intervenire, più per mettere ordine che per indirizzare”.

Nel progettare questo percorso di geometria sulle isometrie ho cercato di attenermi il più possibile all’approccio metodologico della Castelnuovo. Per quanto riguarda le attività al computer ho pensato a delle esercitazioni che privilegiassero l’interazione dinamica con il disegno e l’aspetto del movimento fisico, per consentire agli allievi di cogliere e rielaborare quanto più autonomamente le proprietà di ogni tipo di isometria e di affrontare in maniera dinamica una serie di concetti e di abilità geometriche (dal concetto di simmetria assiale, di isometria diretta e inversa, alla costruzione di tassellature, di poligoni,...).

Inoltre, sfruttando il fatto che Cabri facilita molto il disegno, ho scelto di far costruire ai bambini figure geometriche che avessero forme “reali” (squali, cani, pesci rossi, macchinine...) e che quindi in qualche modo fossero per loro più stimolanti e significative.

Credo che rispetto al disegno di poligoni e cerchi (figure che si trovano normalmente sui testi di geometria) il disegno di figure che hanno un significato concreto possa coinvolgere meglio gli alunni, anche quelli meno interessati alla matematica, e possa attivare di più la mente e stimolare la fantasia e la creatività dei ragazzi.

Durante le esercitazioni in laboratorio è previsto che i bambini lavorino in coppia. In questo modo non solo è più facile seguire tutta la classe durante l’attività al computer, ma viene anche valorizzato l’auto-apprendimento, la cooperazione e lo scambio di idee e di conoscenze.

Gli allievi avranno una scheda da seguire dove sono descritte le istruzioni necessarie a realizzare determinate costruzioni al computer. Sulla scheda i bambini troveranno anche delle domande che serviranno a stimolare l’osservazione e la formulazione di congetture.

Durante le lezioni in aula gli allievi potranno discutere i risultati del loro lavoro, confrontarli con quelli degli altri, scambiare le opinioni con i compagni e con l’insegnante, verificare le diverse congetture.

L’attività di socializzazione dei saperi (e degli errori) è un altro tema di grande attualità e punto forza proposto dalla didattica di Emma Castelnuovo. Le discussioni in classe servono a organizzare, costruire e integrare le conoscenze, superare errori e difficoltà.

Competenza e descrittori di competenza

Competenza:

Riconoscere figure piane riflesse, traslate, ruotate

Descrittori di competenza (o obiettivi operativi):

• Dire cosa si intende per isometria
• Definire e individuare punti uniti e figure unite di una isometria
• Distinguere una isometria diretta da una inversa
• Riconoscere l’identità come l’isometria diretta che lascia fermi tutti i punti del piano
• Applicare la simmetria assiale a semplici figure
• Visualizzare la traslazione come spostamento lungo una retta
• Visualizzare la rotazione come spostamento lungo una circonferenza
• Individuare il vettore della traslazione che fa corrispondere due figure
• Individuare l’angolo della rotazione che fa corrispondere due figure
• Individuare la direzione, la lunghezza e il verso di un vettore
• Riconoscere la traslazione che si ottiene dalla composizione di due traslazioni
• Riconoscere la traslazione che si ottiene dalla composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli
• Riconoscere la rotazione che si ottiene dalla composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti
• Disegnare, colorare, trascinare e animare figure piane con il software Cabri
• Utilizzare i comandi Traslazione, Simmetria Assiale, Rotazione di Cabri

Fasi del percorso di matematica

Il percorso prevede tre lezioni in laboratorio della durata, ciascuna, di due ore e mezza, tre lezioni in aula, di un’ora ciascuna, e, infine, un’ora per la verifica e mezz’ora per la correzione.

Le lezioni in laboratorio e quelle in aula sono così organizzate: ci sarà una prima lezione in laboratorio e poi una in aula, una seconda lezione in laboratorio e poi due in aula, e infine l’ultima lezione in laboratorio.

Con alcuni bambini è prevista anche un’ora in più, così detta di recupero, che la mia tutor d’aula, la prof.ssa Zanini, dedica normalmente ai bambini con maggiori difficoltà in matematica.

La verifica si svolgerà in aula: le ore in laboratorio sono prestabilite, quindi una verifica con Cabri toglierebbe l’ultima lezione al computer, che invece preferisco dedicare a far esercitare i ragazzi su cose nuove.

Inoltre, in prima media non tutti i bambini hanno familiarità con il computer, quindi per qualcuno di loro una prova in laboratorio potrebbe essere prematura.

Tuttavia intendo analizzare con cura e valutare di volta il lavoro che i bambini svolgeranno durante le esercitazioni, non solo per rendermi conto di come l’attività viene effettivamente svolta, ma anche perché credo che prestare attenzione e dare valore a quello che i bambini fanno li stimoli a lavorare con più impegno e interesse.

Alla fine di ogni esercitazione i bambini dovranno salvare il loro lavoro sul computer, in modo che io possa rivederlo, e dovranno consegnarmi le loro schede compilate (su ogni scheda sono riportate delle domande alle quali i bambini dovranno rispondere per iscritto durante l’esercitazione).

Le tre schede relative alle tre attività in laboratorio di informatica sono riportate nella sezione Schede per il percorso di matematica.

Fase 1: Cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto...

Prima di iniziare il percorso sulle isometrie con Cabri viene chiesto a ciascun bambino di esprimere a modo proprio (con parole, frasi e/o disegni) quello che gli viene in mente sulle isometrie.

Questa attività viene svolta in aula: i bambini ricevono una scheda di lavoro da consegnare dopo venti minuti (si veda la scheda “Che cosa mi viene in mente e cosa mi aspetto...” nella sezione Schede per il percorso di matematica).

Questa fase di ricognizione delle conoscenze già acquisite dai bambini, alle scuole elementari o in altri ambiti, mi aiuta a riflettere su come condurre l’attività in modo che possa costituire un momento di estensione e di arricchimento delle conoscenze già possedute, e far sì quindi che i contenuti del percorso non siano una mera e, per i ragazzi, noiosa ripetizione di argomenti già trattati.

La scheda che consegno ai bambini chiede anche di esprimere, con un disegno, una parola o una frase, quello che si aspettano da questa attività di geometria al computer.

Un’analisi di questo tipo non solo aiuta me a capire meglio i loro interessi e le loro curiosità, ma stimola i bambini a pensare a cosa vogliono imparare e a come vogliono lavorare, agevolando un processo educativo dal contenuto metacognitivo.

Fase 2: Prima attività in laboratorio

I bambini con i quali intendo svolgere l’attività di geometria al computer non conoscono Cabri e a scuola non hanno mai utilizzato un software di matematica. È allora necessario dedicare una parte della prima esercitazione all’uso di questo strumento.