Geometrie non euclidee: modelli e approccio pratico per studenti delle scuole superiori

Silsis-MI

Scuola Interuniversitaria Lombarda di Specializzazione

per l’Insegnamento Secondario - Sezione di Milano

- V ciclo -

Le geometrie non euclidee: introduzione e modelli

Docente supervisore: prof.ssa Silvana Boccardo

Docente universitario: prof.ssa Cristina Turrini

Relazione finale di:

Anna Arcara

Matricola Y02091

Classe di concorso 47/A

Anno accademico 2004 / 2005

Indice

Indice .................................................................................................................... 2

Introduzione 3

Contesto.............................................................................................................................. 4

Intervento didattico................................................................................................. 4

Progettazione ...................................................................................................... 6

Metodologie e strumenti 6

Svolgimento delle lezioni...................................................................................................... 15

Verifica ........................................................................................................................ 16

Riflessioni 17

Einstein: un modello del pensiero scientifico........................................ 21

Appendice - Un modo alternativo di introdurre la geometria euclidea ........................................................................................................................ 24

Allegato 1 ........................................................................................................................ 25

Allegato 2 ............................................................................................................................. 26

Bibliografia 1

Introduzione

Curiosando tra i miei libri di matematica delle superiori mi è capitato sottomano il testo di seconda e in esso ho trovato un capitolo sulle geometrie non euclidee con una semplice presentazione attraverso modelli. In quello stesso periodo alcuni colleghi della SILSIS stavano presentando diverse lezioni sulle geometrie non euclidee per il Laboratorio di Autoaggiornamento B tenuto dalla professoressa Turrini. Tali lezioni erano tutte rivolte a classi quinte e avendo fatto tirocinio nel biennio di un liceo scientifico, mi sono chiesta se potesse essere interessante e utile presentare agli studenti l’argomento in questa fase del loro percorso scolastico.

Nonostante i dubbi iniziali ho scelto questo argomento per diversi motivi: durante il Laboratorio di Tirocinio ho sentito parlare spesso di una didattica di tipo elicoidale, che riprende gli argomenti approfondendoli di volta in volta; le geometrie non euclidee generalmente vengono affrontate in quinta, ma effettivamente potrebbe essere utile cominciare a presentarle agli studenti in seconda proprio in vista di un sapere che si costruisce sulla base di conoscenze già acquisite (le conoscenze vanno via via riprese e ‘ristrutturate’ a un livello superiore). Inoltre, affrontando l’argomento a partire dalle conoscenze dei ragazzi sulla geometria euclidea, ho pensato che poteva essere utile farlo non troppo lontano dalla prima, classe in cui i ragazzi studiano questo argomento. Infine, la classe in cui avrei fatto il mio tirocinio attivo si presentava come una classe di soggetti molto svegli, attivi, curiosi e interessati.

Nella prima parte di questo lavoro sono descritti il contesto in cui mi sono trovata ad elaborare il mio intervento didattico nell’ambito del tirocinio attivo e l’intervento didattico stesso nelle sue fasi di progettazione, svolgimento e verifica.

Successivamente, dopo una parte dedicata ad alcune riflessioni sull’esperienza, è riportato un modello del pensiero scientifico elaborato da Einstein, nella cui teoria le geometrie non euclidee trovarono una loro applicazione; in questa stessa parte (Einstein: un modello del pensiero scientifico) si trovano alcune riflessioni sulla matematica e le sue applicazioni in campo scientifico.

In appendice viene, infine, presentato a grandi linee un modo alternativo di introdurre la geometria euclidea rispetto all’impostazione tradizionale che prevede la descrizione degli enti primitivi.

1 Cfr. M. Battelli 2

Contesto

Ho svolto la mia attività di tirocinio presso alcune classi del biennio di un Liceo Scientifico. Essendo stata affidata a due insegnanti di matematica, ho avuto la possibilità di osservare diversi stili di insegnamento oltre che diversi gruppi classe.

In realtà entrambe le professoresse si servivano prevalentemente della lezione frontale più o meno dialogata con gli studenti, a volte partendo da domande rivolte ai ragazzi per introdurli e guidarli nella scoperta dell’argomento trattato, altre volte introducendo direttamente l’argomento ma lasciando agli studenti la possibilità di intervenire con domande e osservazioni.

Le classi, invece, si sono rivelate molto differenti riguardo all’interesse, la partecipazione alle lezioni e l’impegno scolastico: in una classe prima, ad esempio, ho potuto riscontrare molte difficoltà dovute soprattutto allo scarso interesse degli studenti, la maggior parte dei quali già ripetenti; mentre nella seconda dove ho poi svolto il mio lavoro di tirocinio attivo ho trovato una forte motivazione, interesse e una grande vivacità: molti degli studenti partecipavano attivamente alle lezioni con osservazioni molto intelligenti e domande frequenti, al punto che la professoressa si vedeva a volte costretta a selezionare gli interventi rispondendo solo alle domande utili al contesto e a una trattazione efficace degli argomenti.

I ragazzi, nonostante i timori iniziali, hanno partecipato attivamente anche alle mie lezioni dimostrando interesse e curiosità. Come si vedrà, i loro interventi mi hanno in qualche modo guidato nell’impostazione del lavoro. 3

Intervento didattico

Progettazione

Nella progettazione di queste lezioni la prima fase è stata soprattutto di documentazione: non avendo mai incontrato questo argomento nel corso dei miei studi, mi sono preoccupata di recuperare diversi testi (scolastici e non) che potessero fornirmi una preparazione adeguata; ho sfruttato anche diverso materiale che ho potuto recuperare su Internet. Da qui ho cercato di capire cosa potesse essere utile presentare in una seconda liceo per fornire ai ragazzi una prima idea sulle geometrie non euclidee.

Riguardo alla programmazione, mi sono inserita subito dopo l’intera trattazione della circonferenza. Sapendo di avere a disposizione tre ore di lezione, ho impostato il mio intervento secondo questo schema:

• I ora geometria euclidea: assiomi e postulati
• V postulato e sua evidenza
• Tentativi di dimostrazione
• Nuove teorie: le geometrie non euclidee
• II ora le geometrie non euclidee: geometria ellittica e geometria iperbolica
• Modello di Riemann
• Modello di Klein
• III ora geometria e spazio fisico
• Conclusioni

Se a grandi linee le mie lezioni si sono svolte seguendo lo schema sopra riportato, in realtà in alcuni punti mi sono lasciata guidare dalle domande e dagli interventi degli studenti che sono stati frequenti. Fin dall’inizio ho cercato di coinvolgerli ed essi hanno risposto positivamente mostrandosi interessati e incuriositi (ho potuto constatare che anche chi inizialmente mi era parso distratto, in realtà ha preso appunti e grazie ad essi all’inizio della II ora, ad esempio, è stato in grado di riassumere insieme agli altri quanto visto durante la prima lezione). L’idea di introdurre la pseudosfera di Beltrami, come si vedrà, è nata proprio da una difficoltà che ho potuto riscontrare nei ragazzi grazie ad alcuni loro interventi.

Sempre a partire dalla domanda di uno studente abbiamo visto come nel modello di Riemann esistono rette perpendicolari. Infine, le considerazioni fatte sulla somma degli angoli interni di un triangolo nelle diverse geometrie inizialmente non erano previste; ho pensato però che potesse essere interessante per loro notare alcune differenze nelle diverse geometrie. Il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo misuri 180° deriva proprio dal V postulato; abbiamo così visto un esempio concreto di come può cambiare una teoria cambiando i postulati di partenza. 4

Generalmente ho risposto subito alle diverse domande degli studenti, ma ciò non è avvenuto per una domanda che mi sono sentita rivolgere spesso in diversi modi durante le lezioni: “Sono vere queste geometrie?”. Non ho disatteso questa loro curiosità, ma ho voluto comunque lasciare alla fine le considerazioni sulla verità delle geometrie non euclidee preoccupandomi innanzitutto di mostrare la loro coerenza. Anche nella storia è accaduto che i matematici si interrogassero sulla verità delle teorie nate dalla negazione del V postulato, ma non potendo inizialmente rispondere a questo quesito, si sono preoccupati di verificare se almeno queste teorie non fossero contraddittorie e avessero una loro validità matematica.

“Con le geometrie non euclidee si è visto un esempio di come la matematica abbia spesso studiato ed elaborato alcuni concetti o teorie ritenuti, in principio, astratti, e che nei periodi storici successivi hanno trovato utili o addirittura indispensabili applicazioni in settori diversi delle conoscenze umane; anzi è possibile affermare che al progresso delle conoscenze ha notevolmente contribuito il lavoro di matematici che mai avrebbero immaginato le possibili applicazioni della loro teoria”.

2 Cfr. F. Fontana & C. Rovelli

Se le geometrie non euclidee non presentavano alcun interesse per la fisica dei tempi in cui sorsero, ciò non è così oggi che sono utilizzate per descrivere alcuni fenomeni fisici e nello studio delle proprietà gravitazionali dello spazio nell’ambito della teoria generale della relatività di Einstein, che anzi affonda le sue radici proprio nella nascita delle geometrie non euclidee.

La trattazione di questo argomento può offrire una visione non consueta della matematica, può aiutare a rendere gli studenti consapevoli che la verità non è sempre quella che appare e, nonostante si basi su riflessioni astratte e possa quindi creare difficoltà di comprensione, “può costituire un’esperienza molto stimolante proprio perché nell’adolescenza l’essere umano è maggiormente portato alla riflessione e tende a mettere in discussione tutto ciò che è determinato e imposto dall’esterno”.

3 Progetto Docente - Percorso didattico sulle geometrie non euclidee, realizzato dalle professoresse Astone Maria Rosa, Thiella Catterina Silene e Tonizzo Raffaella, www.atuttascuola.it

Attraverso un approccio storico ho cercato anche di trasmettere agli studenti che la matematica ha avuto e ha tuttora una sua storia e un suo sviluppo; non è una scienza data e immutabile. Come dice A.M. Cappelletti “purtroppo quando si insegna matematica [...] non c’è tempo, non c’è voglia, talvolta non c’è preparazione culturale, per dedicare attenzione alla storia del suo sviluppo. Si finisce, senza dirlo esplicitamente, con il far credere che la matematica sia stata fatta trovare all’uomo, non si comprende da chi, tutta confezionata, pronta: un perfetto strumento al quale si possono apportare solo banali perfezionamenti ma non radicali modifiche”. 4

Le geometrie non euclidee sono un esempio di come questo non sia vero.

Metodologie e strumenti

Avendo a che fare con una seconda e trattando un argomento generalmente non inserito nella programmazione del biennio, non ho voluto fornire agli studenti una trattazione formale dell’argomento. Nell’idea di una didattica di tipo elicoidale ho solo cercato di introdurre l’argomento nel modo più semplice possibile, sapendo che comunque verrà ripreso e affrontato largamente in quinta (come ho potuto notare dal testo di una verifica 5).

Ho cercato di fare in modo che le lezioni fossero il più possibile dialogate con gli studenti. All’inizio di ogni lezione facevo riassumere loro i “concetti fondamentali” esposti la volta precedente, guidandoli con domande per favorire la comprensione e la riorganizzazione degli argomenti presentati; lo stesso facevo durante la spiegazione (soprattutto nell’introdurre i modelli ho fatto in modo che fossero loro a verificare i postulati delle diverse geometrie).

Nella presentazione del modello di Riemann ho utilizzato alcune sferette di plastica con l’aiuto delle quali è stato più facile verificare gli assiomi della geometria ellittica; e per le considerazioni finali sulla geometria e lo spazio fisico mi sono avvalsa di alcune immagini tratte dal libro di Charles Seife (Bollati Boringhieri).