Le Funzioni

Le funzioni

Una funzione è una legge definita da un certo insieme in un altro insieme che associa una x ad una y.

Iniettiva, biettiva, suriettiva

f : D_f ⊆ ℝ → ℝ

x ∈ D_f ⟶ f(x) ∈ ℝ

D_f = dominio della funzione

Im_f = { y ∈ ℝ | y = f(x), x ∈ D_f } = immagine della funzione (tutti i valori che possono essere assunti dalla funzione)

G_f = grafico della funzione

G_f ⊆ ℝ × ℝ = ℝ² (coppie ordinate di numeri reali)

G_f = { (x, y) ∈ ℝ² | x ∈ D_f, y = f(x) }

Esempio

f(x) = x   x ∈ ℝ

Ad ogni x associo se stesso.

f̃(x) = x   x ∈ [-1, 1]

Stessa legge ma diverso dominio.

Sono due funzioni diverse (la seconda è una restrizione della prima).

Le funzioni

Una funzione è una legge definita da un certo insieme in un altro insieme che associa una x ad una y.

f: D_f ⊆ R → R x ∈ D_f → f(x) ∈ R

Iniettiva, biettiva, suriettiva

D_f = dominio della funzione

Im_f = { y ∈ R | y = f(x), x ∈ D_f } = immagine della funzione (tutti i valori che possono essere assunti dalla funzione)

G_f = grafico della funzione

G_f ⊆ R × R = R² (coppie ordinate di numeri reali)

G_f = { (x, y) ∈ R² | x ∈ D_f, y = f(x) }

Esempio

f(x) = x   x ∈ R

Ad ogni x associo se stesso.

f(x) = x   x ∈ [-1,1]

Stessa legge ma diverso dominio.

Sono due funzioni diverse (la seconda è una restrizione della prima).

f(x) = √x   x ≥ 0

D_f : { x ∈ ℝ | x ≥ 0 }

Il dominio è insieme naturale di definizione e il più grande insieme nel quale posso definire la mia legge (funzione).

È un sottoinsieme di ℝ o ℝ stesso.

f : ℕ ⊂ ℝ → ℝ

n ↦ a_n = f(n)

Posso pensare ogni successione come una funzione definita da ℕ ⊂ ℝ.

Limite di una funzione

f : D_f ⊂ ℝ → ℝ

x₀ ∈ ℝ

Mi devo "poter avvicinare" ad x₀ essendo delle x ∈ D_f, sarà necessario che x₀ ∈ D_f.

lim_x→x₀ f(x) = ℓ

∀ε > 0   ∃δ_ε | x - x₀ | < δ_ε ⇒ | f(x) - ℓ | < ε

Geometricamente abbiamo:

ℓ ed ε sono dati. (ε è arbitrario)

Comunque scelga uno x in quest'intervallo mi ritrovo nella "striscia" individuata da ℓ+ε e ℓ-ε.

** Df = (0; 1)

lim_x→x0 f(x)

ℓ è il punto di accumulazione (se più valori maggiori di zero) (devo poter tendere a questo valore).

Comunque scelgo un intervallo, trovo sempre un elemento nell'insieme di definizione contenuto in esso.

Unicità del limite

Il limite, se esiste, è unico?

Supponiamo che: lim_x→x0 f(x) = ℓ

f(x) = ℓ̄

ℓ ℓ̄

ℓ̄ - ℓ > 0 è la distanza tra i due.

|ℓ-f(x)|+|f(x)-ℓ̄| ≤ |ℓ-f(x)|+|f(x)-ℓ̄|

δ_ℓ |x-x₀| < δ_ℓ̄

E verificato scelgo tra i minimum tra i S_ℓ: min (δ_ℓ; δ_ℓ̄) = δ_ℓ (per questo valore sono verificate entrambe).

|ℓ-f(x)| + |f(x)-ℓ̄| < 2ε = q. ¹/_2m = 1/_m

Pongo ε = ¹/_2m.

Ho allora 0 < |ℓ-ℓ̄| < 1/_m.

Percio' a < x a+1/_m −−−−> x−a.

Risulta che |ℓ-ℓ̄| = 0 −−−−> ℓ = ℓ̄.

Allora se il limite esiste è unico.

Ciò è osservabile anche graficamente: Ipot.

Se ℓ ≠ ℓ̄ e ε < |ℓ - ℓ̄|, i d.d.v. della x non potrebbero trovarsi da entrambe le parti → assurdo.

Dunque il limite, se esiste, è unico (ℓ = ℓ̄).

Legame tra il limite di una successione e il limite di una funzione

Esiste un legame tra il limite di una successione e il limite di una funzione.

Teorema:

lim_{x → x0} f(x) = ℓ ⟺ ∀ {x_m} | x_m → x₀ → lim_{n → ∞} f(x_m) = ℓ

(Definizione successionale di limite).

Dimostrazione:

Hp: lim_x