Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell

A cura di Flavio Cimolin

(Formula suggerita da David Della Rossa) (ultimo aggiornamento: 13/09/2004)

Probabilmente a chi non abbia confidenza con gli operatori differenziali su campi vettoriali, le formule che seguono appariranno, oltre che oscure, anche decisamente strambe, vista la presenza di triangolini, quadratini e freccette.

Nel caso delle equazioni di Maxwell, tuttavia, poco importa addentrarsi nei meandri della difficile matematica che esse sottendono, dato che già una descrizione qualitativa può essere in grado di far cogliere la bellezza e nel contempo la straordinaria potenza che esse esprimono.

Ma vediamo appunto in cosa constano le suddette equazioni:

Si tratta di un sistema di 4 equazioni differenziali alle derivate parziali sui campi elettrico e E magnetico. Esse costituiscono l’apice della fisica classica, essendo il coronamento di secoli di ricerche da parte di scienziati di tutto il mondo riguardanti l’elettromagnetismo. B

Con il lavoro di Maxwell del 1873 si chiude infatti in un certo senso l’era della fisica classica, per poi passare nel ventesimo secolo alle stravaganze della meccanica quantistica, con cui ci stiamo cimentando tutt’ora.

E vogliate crederci o no, le equazioni di Maxwell riescono a riassumere al loro interno davvero tutti i risultati che i fisici avevano ricavato sperimentalmente fino ad allora (vedi le leggi di Gauss per il campo elettrico e magnetico, il teorema sulla circuitazione di Ampère, le leggi di Lorentz, e di Faraday, ...).

In teoria, si suole dire, che prendendo come postulati queste quattro equazioni, un matematico infinitamente abile sarebbe in grado di ricavare tutta la teoria dell’elettromagnetismo senza bisogno di altro. Notevole, non è vero?

Per descrivere molto sinteticamente le equazioni, vediamo che esse definiscono dei legami fra il campo elettrico ed il campo magnetico. Le due equazioni a sinistra contengono a primo E membro l’operatore differenziale di divergenza, che definisce in che modo, alla scala microscopica, si generano i campi. B

Da qui si coglie una forte differenza fra i due campi: l’uno, quello elettrico, può nascere in concomitanza di una carica (ρ) distribuita nello spazio, di segno positivo oppure negativo; per il campo magnetico, invece, non esistono ’monopoli’, e dunque per ogni polo positivo ce ne deve essere uno uguale ma negativo (basti pensare alle calamite a noi molto familiari: sono caratterizzate dal fatto di possedere - sempre - due poli di segno opposto).

Le due equazioni di destra contengono invece a primo membro l’operatore differenziale rotore, che indica il calcolo di una circuitazione.