Lavoro, potenza e energia cinetica

Velocità angolare

Velocità angolare: dθ/dt = ω₀ cos(ωt+φ)

Velocità lineare: v = ds/dt = L dθ/dt = Lω₀ cos(ωt+φ)

Lavoro, potenza, energia cinetica

Si definisce lavoro della forza F, compiuto durante lo spostamento del p.t.o dalla posizione A alla posizione B, la q.tà scalare:

Il lavoro è l'integrale di linea della forza, ossia è dato dalla somma dei infinitesimi contributi infinitesimi dW = F・ds = F_τ ds.

Si possono presentare tre casi, F forma con ds un angolo:

• Minore di π/2 ⇒ lavoro motore
• Maggiore di π/2 ⇒ lavoro resistente
• Pari a π/2 lavoro nullo

Quando F è effettivamente la somma di n forze F₁, ..., F_n per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro W e risulta W = Σi W_i:

Il lavoro eseguito è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.

Possiamo affermare che W = 0 quando non agisce alcuna forza oppure agiscono forze la cui risultante è nulla e ortogonale alla traiettoria.

Lavoro, potenza, energia cinetica

Si definisce lavoro della forza F, compiuto durante lo spostamento del punto dalla posizione A alla posizione B, la q.ta scalare:

Il lavoro è l'integrale di linea della forza, cioè è dato dalla somma dei infiniti contributi infinitesimi dw = F · ds_τ = F_τ ds.

Si possono presentare tre casi, F forma con ds un angolo:

• Minore di π/2 ⇒ lavoro motore
• Maggiore di π/2 ⇒ lavoro resistente
• Pari a π/2 ⇒ lavoro nullo

Quando F è effettivamente la somma di n forze F₁, ..., F_n per ciascuna si può calcolare il corrispondente lavoro W e risulta W = Σ W_i.

Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.

Possiamo affermare che W = 0 quando non agisce alcuna forza oppure agiscono forze la cui risultante è nulla o ortogonale alla traiettoria.

Potenza

La potenza corrisponde al lavoro per unità di tempo: P = ^dW/_dt = ^F. ^dc/_dt = F.v = F.v.

Questa è la potenza istantanea che è in generale variabile durante il moto e che caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro.

La potenza media è il rapporto W/t dove è lavoro totale diviso il tempo.

L'energia cinetica

Differenziando la definizione relativa al lavoro infinitesimo associato allo spostamento di tal punto così si legge tra la variazione infinitesima del modulo della velocità e il lavoro.

^{dW = F} ds = m a r ds = m ^dv/_dt ds = m v dv.

^BW_A = ∫ m v dv = ¹/₂ m v_B² - ¹/₂ m v_A² = E_K,B - E_K,A = ΔE_K.

Il lavoro è pari alla variazione della quantità ¹/₂ m v² che è detta energia cinetica.

Differenziando la definizione di quantità di moto otteniamo:

E_K = ¹/₂ m v²          p = mv

E_K = ^p2/_2m => p = √2mE_K

Lavoro della forza peso

^BW_A = ∫ F . ds = ∫ F . |ds| = m · g · r_AB = mg (r_B - r_A)

ma  r_AB sull'asse Z ha componenti z_B - z_A

W = -(mg z_B - mg z_A) = -(E_P,B - E_P,A) = - ΔE_P

└───────────────────────────┘                                       Energia potenziale                                       della forza peso                                       E_P = mgz

Lavoro di una forza elastica

Il lavoro della forza elastica F lungo l'asse x vale:

W = ∫_A^B -k x_i dx_i = -k ∫_A^B x dx = ½ k x_A² - ½ k x_B² = -ΔE_p

Energia potenziale elastica

Lavoro di una forza di attrito radente

W = ∫_A^B F_ad ds = ∫_A^B -μ_a N v_i ds = -μ_a∫_A^B N ds

Sempre negativo!!

Dunque resistente.

Dipendente del percorso S.

Questo lavoro dipende dai percorsi.

Forze conservative

Nella forza peso e nella forza elastica il lavoro dipende solo dagli estremi delle posizioni A e B e non dal particolare percorso che li congiunge mentre nella forza d'attrito dipende dalla traiettoria. Le forze del primo tipo sono forze conservative e per calcolare il loro lavoro è sufficiente qualsiasi percorso che congiunge B ad A.

∫_A^B (F·ds)_I = ∫_A^B (F·ds)_II = ∫_A^B F·ds

Il lavoro è pertanto esprimibile come differenza dei valori assunti in A e B ⇒ W = -ΔE_p.

Nota bene: per un percorso chiuso il lavoro è nullo.

Conservazione dell'energia meccanica

Se agiscono, in un sistema, solo forze conservative possiamo scrivere:

W = ΔE_L = E_K,B - E_K,A   W = -ΔE_P = E_P,A - E_P,B

⇒ E_P,A + E_K,A = E_P,B + E_K,B

La somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un punto materiale che si muove sotto l'azione di forze conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva.

Tale somma si chiama energia meccanica e in presenza di forze conservative vale perciò il principio di conservazione dell'energia meccanica: E_M = E_K + E_P = costante.

Quando agiscono sia forze conservative che non conservative il lavoro complessivo è dato dalla somma del lavoro delle forze conservative W_C e quello delle non conservative W_nc:

W = W_C + W_nc = E_K,B - E_K,A

E_P,A - E_P,B + W_nc = E_K,B - E_K,A

⇒ W_nc = E_M,B - E_M,A

In presenza di forze non conservative l'energia meccanica non resta costante e la sua variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative.

Relazione energia potenziale - forze

dW = F·ds = F_xdx + F_ydy + F_zdz = -dE_P    ⇩momento uomo del lavoro          ⇦ componente di una forza conservativa

∮ dW = -∮ dE_P = 0 ⇒ ∫_A^B dW = ∫_A^B (F_xdx + F_ydy + F_zdz) = ∫_A^B dE_P = - [∫_A^B (∂E_P/∂x) dx + (∂E_P/∂y) dy + (∂E_P/∂z) dz] ⇄ derivate parziali

⇒ F = -grad E_P = -∇E_P   la forza è l'opposto del gradiente dell'En. Potenziale.

Momento angolare e momento di una forza

Consideriamo un punto materiale P che si muove in un sistema di riferimento inerziale: sia p=mv la sua q.tà di moto e scegliamo un punto O di riferimento.

Definiamo momento angolare o momento della q.tà di moto del punto P rispetto al polo O il vettore​ L = r_p x p.

Nota bene: se si cambia il polo rispetto a cui fare il calcolo il momento angolare ha relazione diretta: L₀ = L₁ + r₂ x p.

Capiamo ora quale è l’asse attorno di opportune condizioni di L.

Consideriamo il prodotto della quantità L = dp/dt​ r_p x F     L₀ x dp/dt.

Il primo membro dell’equazione è definito momento della forza F rispetto al polo 0.

Ovunque sia il punto sono applicate più forze: se un sistema e P₀: ΣF=I allora H = r_P0 x r₂.

Nel caso particolare di un punto su un polo fisso nel sistema di riferimento mi equivale (rel. 5) rimane che​ H = dL/dt.

A valere un qui sistema materiale in seguito ad un polo fisso come polo, il momento della forza poniamo agente su un punto materiale è pari alla: derivata rispetto al tempo del momento angolare del p.to materiale stesso. Questa conclusione prende il nome di teorema del momento angolare.

Nota bene: il momento angolare di un p.to materiale rimane costante nel tempo se il momento delle forze è nullo ₀ <-> _dL/_dt = 0.

Nota bene: per produrre una variazione finita del momento angolare di un p.to materiale, occorre l'azione, per un certo tempo, del momento di una forza:

^t ∫₀ Ṫ dt = ΔL

Se la forza viene applicata al p.to per un tempo molto breve è praticamente costante e risulta:

^t ∫₀ (ℓ₀p × F)dt = ℓ₀p × ^t ∫₀ F dt = ℓ₀p × I = ΔL

Questo è detto teorema del momento dell'impulso: la variazione del momento angolare è uguale al momento dell'impulso applicato al p.to.

Forze centrali

Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà:

• Un qualsiasi p.to lo sua direzione passa sempre per un p.to fisso, detto centro della forza
• Il modulo e f.ne soltanto della distanza dal centro stesso

La presenza di una forza, f.ne della posizione, che agisce in una certa regione dello spazio, costituisce una modifica dello spazio stesso e stabilisce quello che si chiama un campo di forza.

Questo campo agisce su ogni particella che si trova in esso.

Il concetto di campo venne introdotto da Faraday nello studio dell'elettromagnetismo.

In un campo di forze centrali, il momento della forza rispetto al centro è sempre nullo. Questo perché r x F perciò L = costante.

In un tempo dt il raggio vettore OP spazza l'area infinitesima dA la quale è approssimabile ad un triangolo di base OP⋅dθ e altezza OP e quindi area dA = ½ OP⋅dθ.

Punto precedente.

^dA/_dt = ½ r² ^dθ/_dt

Detta velocità areale la quale esprime la rapidità con cui viene spazzata l'area dal vettore OP.

Risulta così:

^dA⁄_dt = ¹⁄_2m in quanto nel moto circolare il momento angolare vale:

L = mr² ^df⁄_dt

Pertanto possiamo affermare che la traiettoria di un pto che si muove in un campo di forze centrali giace su un piano fisso passante per il centro ed è percorsa in modo tale che la sua velocità areale rimanga costante.

Questo è alla base della II legge di Keplero e portò Newton a dedurre che la forza gravitazionale è una forza centrale.

Sistema di punti materiali

In generale la risultante F_{i (int)} delle forze interne agenti su un generico i-esimo punto e' ovvero e' sempre allo zero mentre la risultante di tutte le forze interne del sistema e' nulla poiche' queste, per il principio di azione e reazione sono a due a due uguali e opposte.

Per il p.to - esimo abbiamo:

• Posizione r_i (SR)
• Velocita' v_i
• Accelerazione a_i = F_i / m_i
• Q.ta di moto p_i = m_iv_i
• Momento angolare L_i = r_i × m_iv_i
• Energia cinetica E_{k i} = 1/2 m_iv_i²

Per il sistema:

• Q.ta di moto totale p_tot = Σ q_i = Σ m_iv_i
• Momento angolare totale L_tot = Σ p_i = Σ r_i × m_iv_i
• Energia cinetica totale E_k = Σ E_{k i} = Σ 1/2 m_iv_i²