Concetti Chiave
- Il lavoro di una forza costante si calcola come il prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento, tenendo conto solo della componente della forza parallela allo spostamento.
- Se l'angolo tra forza e spostamento è minore di 90°, la forza è motrice e trasferisce energia al corpo, mentre se è maggiore, la forza è resistente e sottrae energia.
- Per un angolo di 90° tra forza e spostamento, la forza non compie lavoro poiché la componente parallela allo spostamento è nulla.
- Il lavoro di una forza variabile non può essere determinato con un prodotto scalare semplice; si calcola integrando la funzione della forza rispetto alla posizione.
- Per spostamenti tridimensionali, il lavoro si calcola integrando le componenti della forza lungo ciascun asse del movimento.
LAVORO DI FORZE COSTANTI E VARIABILI
Lavoro di forze costanti
Il lavoro
[math]L[/math]
compiuto da una forza costante, applicata a un corpo, durante uno spostamento, è pari al prodotto scalare tra il vettore forza [math]\textbf{F}[/math]
e il vettore spostamento [math]\textbf{d}[/math]
.
[math]L = F d \cos(\phi) = \textbf{F} \cdot \textbf{d}[/math]
Per definizione, il lavoro di una forza
[math]\textbf{F}[/math]
è determinato dalla sola componente [math]F \cos(\phi)[/math]
diretta secondo lo spostamento, mentre la componente perpendicolare a quest'ultimo compie un lavoro nullo.- Se l'angolo [math]\phi[/math]sotteso tra i vettori forza e spostamento misura meno di 90° (0≤ϕ[math]\textbf{F}[/math] trasferisce energia al corpo al quale è applicata (forza motrice).
- Se l'angolo [math]\phi[/math]sotteso tra i vettori forza e spostamento misura più di 90° (π⁄2[math]\textbf{F}[/math] sottrae energia al corpo al quale è applicata (forza resistente).
- Se l'angolo [math]\phi[/math]sotteso tra i vettori forza e spostamento misura esattamente 90° (ϕ=π⁄2), la forza[math]\textbf{F}[/math]non compie lavoro (forza a lavoro nullo).
Lavoro di forze variabili
Il lavoro svolto da una forza
[math]\textbf{F}[/math]
applicata a un corpo, la cui intensità varia durante uno spostamento [math]\textbf{d}[/math]
, non può essere ricavato dal prodotto scalare (costante) [math]\textbf{F} \cdot \textbf{d}[/math]
.In questo caso, infatti, l'intensità della forza
[math]\textbf{F}[/math]
applicata al corpo varia continuamente nell'intervallo definito dagli estremi dello spostamento [math]\textbf{d}[/math]
, come è illustrato dalla funzione [math]F(x)[/math]
della forza rispetto alla posizione.Immaginando di suddividere lo spostamento
[math]\textbf{d}[/math]
in intervalli di ampiezza uniforme [math]Δx[/math]
e ritenendo la forza [math]\textbf{F}[/math]
costante in questi ultimi, il lavoro può essere calcolato attraverso la somma di ogni minima variazione [math]ΔL[/math]
del prodotto [math]F_iΔx[/math]
, considerata l'intensità della forza nell'intervallo i-esimo [math]Δx[/math]
.- Per uno spostamento unidimensionale [math]Δx = x – x_0[/math]:
- Per uno spostamento tridimensionale [math]Δ\textbf{r} = \textbf{r} - \textbf{r}_0 = (r_x \textbf{i} + r_y \textbf{j} + r_z \textbf{k}) - (r_{0,x} \textbf{i} + r_{0,y} \textbf{j} + r_{0,z} \textbf{k})[/math]:
[math]\text{se } ΔL_i = F_iΔx \text{ allora }\\ L = \lim_{Δx \to 0} \sum_{i} ΔL_i = \lim_{Δx \to 0} \sum_{i} [F(i) Δx] = \int_{x_0}^{x} F(x) dx\\ \textbf{ (integrale del lavoro)}[/math]
[math]L = \int_{r_0}^{r} dL = \int_{r_{0,x}}^{r_x} F_x dx + \int_{r_{0,y}}^{r_y} F_y dy + \int_{r_{0,z}}^{r_z} F_z dz\\ \text{ con } dL = \textbf{F} \cdot d \textbf{r} = F_xdx + F_ydy + F_zdz[/math]
Domande da interrogazione
- Come si calcola il lavoro di una forza costante applicata a un corpo?
- Cosa succede al lavoro quando l'angolo tra forza e spostamento è di 90 gradi?
- Come si determina il lavoro di una forza variabile?
Il lavoro di una forza costante si calcola come il prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento, espresso dalla formula [math]L = F d \cos(\phi)[/math]. La componente della forza che contribuisce al lavoro è quella parallela allo spostamento.
Quando l'angolo tra la forza e lo spostamento è di 90 gradi, la forza non compie lavoro sul corpo, poiché la componente della forza parallela allo spostamento è nulla.
Il lavoro di una forza variabile si determina integrando la funzione della forza rispetto alla posizione lungo lo spostamento. Questo si esprime matematicamente come [math]L = \int_{x_0}^{x} F(x) dx[/math] per uno spostamento unidimensionale, e in forma tridimensionale considerando le componenti lungo ciascun asse.
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