La trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier

A cura di Flavio Cimolin

(Formula suggerita da Alessandro Bernardini) (ultimo aggiornamento: 25/07/2003)

Già solo la scrittura di questa coppia di formule, con una perfetta simmetria fra la X(f) e la x(t), salvo nei segni più e meno che si scambiano, ne potrebbe giustificare l'inserimento in questa sezione dedicata appunto alle formule più belle. Ma oltre alla loro bellezza estetica, queste due formule sono di un'importanza assolutamente fondamentale in molti ambiti non solo della matematica, ma della scienza e della tecnica in generale.

Dal punto di vista formale, queste formule mostrano il passaggio dal dominio del tempo, x(t) appunto, al dominio della frequenza X(f), e viceversa. Se partiamo per esempio da un segnale sonoro, che è descritto istante per istante da una forma d'onda che abbia funzione x(t), grazie alla Trasformata di Fourier possiamo scomporre il segnale in tutte le sue armoniche ed ottenerne la cosiddetta "trasformata", ovvero una funzione X(f) che rappresenta lo stesso segnale di partenza descritto in un altro modo. Il bello è che (diciamo per quasi tutte le funzioni comunemente usate, perché in realtà dal punto di vista matematico occorrerebbero molte considerazioni sulle funzioni x(t) ed X(f)) queste formule possono essere liberamente utilizzate per passare da un dominio all'altro a seconda del tipo di calcoli che si vogliono effettuare, ed il segnale, nell'una o nell'altra forma, resta sempre il medesimo!

Facciamo un esempio veramente banale per intuire cosa significhi questa trasformazione. Quando noi parliamo o emettiamo dei suoni, utilizziamo delle frequenze che variano fra i 20 ed i 20.000 Hz (e gli animali arrivano a frequenze molto più alte!). Ebbene, grazie alla Trasformata di Fourier potremmo per esempio pensare di registrare la nostra voce, passare nel dominio della frequenza, quindi cancellare tutte le frequenze al di sopra diciamo dei 3.000 Hz, quindi ritornare nel dominio del tempo. Riascoltando la nostra voce modificata in questo modo la sentiremmo allora con un tono molto più basso e cupo, e questo proprio in virtù dell'eliminazione delle frequenze alte ottenuta grazie al passaggio in frequenza. http://www.matematicamente.it