La legge di reciprocità  dei residui quadratici

La legge di reciprocità dei residui quadratici

A cura di Flavio Cimolin

(Pagina a cura di Marco Frigerio) (ultimo aggiornamento: 22/10/2005)

La legge di reciprocità di Gauss dei residui quadratici è una fra le più strane ed affascinanti formule della teoria dei numeri (l'area della matematica che si concentra sui numeri interi).

Essa è bella perché, tra l'altro, è dotata di perfetta simmetria, ma è anche utile per verificare se una particolare equazione diofantea di secondo grado ha soluzione.

Siano a e b numeri primi dispari, allora vale:

Cerchiamo di spiegare a chi non conosca i fondamenti della teoria dei numeri che cosa significano i simboli presenti a primo membro nella formula, iniziando dalla definizione di residuo quadratico.

L'equazione x² ≡ q (mod p), se p è un numero primo dispari e 0 < q < p, possiede (in modulo p) 2 o 0 soluzioni, a seconda dei valori di q, p.

Nel primo caso si dice che q è un residuo quadratico di p, nel secondo caso che q è un non-residuo quadratico di p.

Per esempio, se q = 3 e p = 7, otteniamo l'equazione: x² ≡ 3 (mod 7), che non ammette soluzioni intere, come si può facilmente verificare per sostituzione, utilizzando tutti i valori interi 0 < x < 7, elevando al quadrato, dividendo per 7 e verificando che non si ottiene mai 3 come resto.

Per le proprietà delle congruenze, nessun altro valore intero di x può soddisfare l'equazione data.

Viceversa, se avessimo q = 3 e p = 11, otterremmo l'equazione x² ≡ 3 (mod 11), che ammette infinite soluzioni intere x = 11n ± 5 per ogni n intero (x = 5 e x = 6 se ci limitiamo a considerare 0 < x < 11).

La legge di reciprocità di Gauss permette di sapere quando è risolubile l'equazione x² ≡ a (mod b) una volta noto se sia o no risolubile l'equazione x² ≡ b (mod a).

Introducendo il simbolo di

a a

/ ) = 1 se è risolubile la prima equazione e ( / ) = -1 se non lo è.

Analogamente

Legendre, poniamo ( b b

b

useremo ( / ) per la seconda equazione.

L'importanza della legge consiste nel legame tra la risolubilità o meno delle due equazioni in questione.

È importante notare che la legge di reciprocità non spiega come trovare i valori di x, ma solo se esistono tali valori oppure no.

Una volta appurato che esistono, occorre eseguire ulteriori calcoli per trovarli materialmente.