La formula di Pitagora per l’irrazionalità di radice di 2
A cura di Flavio Cimolin
Pagina a cura di Francesco Speciale. Ultimo aggiornamento: 22/10/2005
Apparentemente la relazione sembra banale, e infatti lo è per i matematici. Faccenda ben diversa per i non matematici, per i quali la relazione sopra riportata appare pure banale, ma per altri motivi; ben presto, infatti, dopo qualche tentativo di verifica per scovare i numeri interi giusti, la relazione lascerà probabilmente a bocca aperta i non addetti ai lavori, e forse anche gli studenti più attenti alle questioni matematiche.
Di cosa si tratta? Cosa sta ad indicare la formula? La formula è una relazione tra m ed n e sintetizza qualcosa che è impossibile da sostenere come vero, sebbene la forma che l’espone appaia semplice.
Siamo però davanti a qualcosa che non è in grado di conciliare la forma con la funzione; in questo caso la forma è corretta, anche elegante per certi aspetti, ma la sostanza è senza consistenza.
La scoperta della relazione
Da dove salta fuori questa relazione? I primi ad averla scoperta furono i matematici della scuola filosofica di Pitagora. La scoperta dell’insostenibile verità saltò fuori probabilmente a seguito del tentativo vano di trovare due numeri interi tali da rendere commensurabile il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato.
La scoperta dell’insostenibile verità comunque portò alla definizione di nuove entità numeriche, gli irrazionali; queste entità numeriche sono caratterizzate da una quantità illimitata di cifre decimali che si susseguono senza alcun ordine, apparentemente in modo casuale, e tali che ciascuna cifra richiede un calcolo per essere determinata.
Ma indipendentemente da congetture d’ordine geometrico la relazione n2 = 2m2 è di per sé semplicemente impossibile. Infatti non è possibile l’esistenza di due numeri interi tali da rendere vera l’uguaglianza numerica tra le due parti della relazione.
L’argomento della divisibilità
Un’osservazione elementare basata sul solo possesso delle conoscenze dell’argomento divisibilità infatti ci porta ad una conclusione di questo tipo:
- n2 deve essere un numero pari perché è uguale a 2m2, e in quanto quadrato deve per forza contenere il fattore 2 un numero pari di volte.
- 2m2, indipendentemente dal fatto che m sia pari o dispari, conterrà sempre il fattore 2 un numero dispari di volte.
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