La distribuzione delta di Dirac

La distribuzione delta di Dirac

a cura di Flavio Cimolin

(formula suggerita da Davide Bucci) (ultimo aggiornamento: 19/09/2007)

La Teoria delle Distribuzioni è sicuramente uno degli sviluppi più interessanti dell'analisi a livello

non elementare: essa propone una generalizzazione del concetto di "funzione", estendendolo ad

oggetti con proprietà ancora più generali. Sebbene sia impossibile definire in modo

matematicamente corretto il significato di distribuzione in poche parole, è possibile descriverlo

qualitativamente confrontandolo appunto con il più noto concetto di funzione. Anziché assegnare il

valore di una funzione in ogni suo punto, si caratterizza una distribuzione definendo la sua "azione"

su una generica funzione test infinitamente regolare. Si può dimostrare che ad ogni funzione (nel

senso usuale del termine) è associabile una distribuzione, ma il bello è che esistono anche delle

distribuzioni che non sono riconducibili a funzioni! Tutto quanto detto finora potrà apparire

giustamente molto astruso a chiunque non abbia confidenza con la matematica superiore, ma un

semplice esempio - che ci permetterà anche di descrivere la più importante fra le distribuzioni, cioè

la Delta di Dirac - potrà chiarire questi concetti.

Sia δ la distribuzione Delta di Dirac. Essa ha la proprietà di estrarre il valore di una qualsiasi

funzione in un punto. La sua definizione è allora data dalla formula seguente:

L'azione della δ su una generica funzione test f (cioè il loro integrale su tutta la retta reale) è uguale

al valore della f nell'origine. Come si vede il concetto è tutt'altro che complesso, ma solo con la

Teoria delle Distribuzioni esso può essere formulato correttamente in maniera rigorosa.

Per comprendere meglio che cos'è la δ di Dirac, possiamo di definirla come limite di una

successione di funzioni molto semplici. Le funzioni “porta” illustrate a fianco valgono 0 da

meno infinito a -1/(2n) e da 1/(2n) a più infinito, e

nel tratto intermedio valgono n. Al crescere di n (blu,

viola, giallo, verde, …) i rettangolini diventano via

via sempre più stretti e contemporaneamente più alti,

in modo che la loro area valga sempre 1: protraendo

al limite restringimento si ottiene proprio la Delta di

Dirac.

E' chiaro che essa non può essere rappresentata da

una funzione, in quanto bisognerebbe dire che essa

vale zero in tutti i punti, tranne che nell'origine, dove

vale... infinito! http://www.matematicamente.it