Istituzioni di Geometria - appunti ed esercitazioni

Istituzioni di geometria

18h con Fino + 24h con Marchisio

Scritto + orale sulla parte della Fino, gli esercizi sui fogli.

Modole - audio delle lezioni - radam delle lezioni

Testi:

• Lee, Smooth Manifolds
• Aubin, A first course in differential geometry

Consideriamo funzioni differenziabili

F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m, aperto.

Sia F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m e differenziabile in x₀ ∈ Ω se esiste un'applicazione lineare A ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) tale che ∀ y ∈ ℝ^m tale che x₀ + y ∈ Ω e si ha F(x₀ + y) - F(x₀) = A(y) + ||y|| c(x₀, y) dove c(x₀, y) → 0 se y → 0.

A = F'(x₀) = dF(x₀), si dice differenziale di F in x₀.

dF : x₀ ∈ Ω → F'(x₀) ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) dove F = (F₁, ..., F_m) dove F_j : Ω ⊂ ℝ^m → ℝ.

Il differenziale F'(x₀) è rappresentato rispetto alle basi canoniche di ℝ^m e ℝ^m come ∂F_j/_∂xi(x₀), _i = 1, ..., m.

Istituzioni di geometria

18h con Fino + 24h con Marchisio

Scritto + orale sulla parte della Fino, gli esercizi sui fogli.

Modole - dettio delle lezioni - radun delle lezioni

Testi:

• Lee, Smooth Manifolds
• Aubin, A first course in differential geometry.

Consideriamo funzioni differenziabili

F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m, aperto.

Sia F: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ^m è differenziabile in x₀ ∈ Ω e esiste un'applicazione lineare A ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) tale che ∀ y ∈ ℝ^m tale che x₀ + y ∈ Ω e si ha F(x₀ + y) - F(x₀) = A(y) + || y || C(x₀, y) dove C(x₀, y) → 0 se y → 0.

A = F'(x₀) = dF(x₀), si dice differenziale di F in x₀.

dF: x₀ ∈ Ω → F'(x₀) ∈ L(ℝ^m, ℝ^m) dove F = (F₁, ..., F_m), dove F_j: Ω ⊂ ℝ^m → ℝ.

Il differenziale F'(x₀) è rappresentato rispetto alle basi canoniche di ℝ^m e ℝ^m come ∂F_j(∂x_i)(x₀)(i, j = 1, ..., m), avere come una matrice con m colonne e m righe, matrice jacobiana di f in x₀.

Chiami f^∞ → ∞ infinitamente differenziabile.

F è analytic (nel senso reale) cioè ∞ e sviluppabile in serie di Taylor (di potenze).

Esempio

Funzione f^∞ ma non f^ω.

f(x) = { 0,  x -1/x²,  x > 0.

È f^∞ su ℝ ma non f^ω ovvero f^(m)(0)=0.

Varietà differenziabili

Uno spazio localmente euclideo di dimensione m (o varietà topologica di dimensione m) M è uno spazio topologico di T2 a base numerabile (rispetto alla topologia di T2) tale che ∀ p ∈ M ho un intorno omeomorfo ad un aperto V di ℝ^m.

ψ: U ⊂ M → V ⊂ ℝ^m, carta locale (intorno a p) o mappa coordinatale.

Funzioni xⁱ = π_i∘ ψ sono dette coordinate locali rispetto a (U, ψ) dove π_i: ℝ^m → ℝ | ∀α = (a₁ - a_m) → a_i, proiezione.

Chiamiamo (U, ψ) una carta locale.

Chiamiamo (U,φ) con pεU una carta centrata in p se φ(p) = 0 IR^m ϖvero φ(p) = (0, ..., 0).

p ha coordinate (x₁, ..., xₘ) ⇒ coordinate di φ(p) ε IR^m.

Esempio

Grafico di una funzione continua.

U c IR^m aperto.

F: U c IR^m → IR^k, funzione continua.

Consideriamo il grafico di F : Γ(F)

Γ(F) = {p ϵ IR^m ᐧ IR^k | xεU e y = F(x) }.

Su Γ(F) vado a prendere la topologia sottospazio indotta da quella standard IR^m s IR^k.

π₁ : IR^m s IR^k → IR^m ; (x,y) ─> x, proiezione sul primo fattore.

π₁ | Γ(F) := φ: Γ(F) → U: (x,y) ─> x, aperto di IR^m.

È continuo perché restrizione di una funzione continua.

(π₁ | Γ(F))^-1 (x) = { x, F(x) } ^-1_continuo ⇒ Γ(F) è una varietà topologica di dimensione m.

(U, φ) carta globale.

Strutture differenziabili

Una struttura differenziabile M di classe C^k (1 ≤ k ≤ ∞) su uno spazio localmente euclideo di dimensione n è una collezione di carte.

A= { (Uᵧ, φᵧ) } _{y ε A}

Ovvero {U_α} è un ricoprimento aperto.

(2) φ_&alpha