Introduzione alle nanotecnologie

La crisi della fisica classica

La radiazione di corpo nero

Quando un corpo viene colpito da una radiazione con intensità I, esso ne assorbirà una parte pari a I_A. Si definisce quindi il coefficiente di assorbimento come:

Poiché il corpo non può assorbire più radiazione di quanta ne receva, il coefficiente di assorbimento deve essere sempre minore o uguale a 1.

Il coefficiente di assorbimento dipende dalla frequenza della radiazione incidente, dalla temperatura del corpo e dalla geometria del corpo.

Si definisce corpo nero un corpo per il quale il coefficiente di assorbimento è pari a 1.

In generale i corpi, oltre che assorbire radiazioni, possono emetterle. Si introduce quindi la grandezza emissività spettrale e che ci dà un’idea dell’energia emessa da un corpo, preso in considerazione un range di frequenze. L’emissività dipende in generale dalla frequenza, dalla temperatura e dalla geometria del corpo. Quando però il coefficiente di assorbimento è pari a 1, ossia quando il corpo è un corpo nero, l’emissività non dipende più dalla dimensione del corpo.

Si può allora realizzare un’ottima approssimazione di un corpo nero, ovvero si considera una cavità con pareti non riflettenti. Si fa entrare una radiazione da un piccolo foro. Essa verrà sì riflessa ma via via viene assorbita quasi completamente dalle pareti, in modo tale che: anche se una piccola porzione dovesse uscire, questa avrà intensità quasi nulla, il corpo, o meglio le sue pareti, si scalda durante il processo e la cavità, il foro, approssima molto bene un corpo nero.

Questo fatto ha due conseguenze notevoli:

• All’interno della cavità si ha, all’equilibrio, una distribuzione omogenea della radiazione.
• All’interno della cavità si genera una densità spettrale di energia u(ν, T).

Questa seconda grandezza ha senso quando integrata tra due diversi valori di frequenza e fornisce la densità di energia “ristretta” a quell’intervallo.

Si può dimostrare che: ovvero vi è una relazione di proporzionalità tra emissività e la densità spettrale.

Sulla base di dati empirici si può costruire un grafico che riporta la frequenza sulle ascisse e l’emissività sulle ordinate.

Si può osservare che il massimo si sposta aumentando la frequenza. Inoltre, essendo la campana individuata dall’area sottesa alla curva l’intensità della radiazione, si può notare che a temperature maggiori corrispondono “campane” più grandi e quindi intensità maggiori.

Da queste osservazioni si arriva alla formulazione della legge di Stefan-Boltzmann:

1

Un’altra importante formulazione è la legge dello spostamento di Wien:

Ovvero il prodotto tra T e λ_max è costante e la costante è chiamata costante di Wien.

Per λ_max si intende la lunghezza d’onda della radiazione emessa in massima quantità e non la lunghezza d’onda più grande emessa.

La teoria classica di Rayleigh e Jeans

I modi normali sono le frequenze permesse nel caso delle onde stazionarie con gli “zeri forzati”. Queste frequenze sono tutte multipli interi della frequenza fondamentale.

Al fine del calcolo della densità spettrale di energia si introduce la densità di modi stazionari all’interno della cavità.

Caso 1D

Le frequenze permesse sono tutte equispaziate e si suppone che siano molto fitte. Facendo tendere L -> ∞ il gas tra le frequenze tende a zero poiché vale la relazione C/2L:

Il numero di frequenze permesse in un intervallo di frequenze dν è pari a N:

Poiché c è una costante, ne segue che la densità dei modi normali g non cambia al variare della frequenza, cioè i modi sono equispaziati.

Caso 3D

Le frequenze permesse non sono più equispaziate e si infittiscono all’aumentare della frequenza. In particolare si ha che:

Quindi si ha che la densità di modi aumenta all’aumentare della frequenza secondo una legge quadratica.

L’esperimento di Rayleigh-Jeans

È un esperimento ideale nel quale si immagina di prendere una cavità cubica le cui pareti hanno coefficiente di assorbimento molto piccolo, ma non nullo, in modo tale che esse siano quasi totalmente riflettenti. Grazie a questi accorgimenti il corpo si comporta come un corpo nero ma allo stesso tempo si creano all’interno delle onde stazionarie.

Inoltre, poiché le pareti della cavità sono metalliche, le onde stazionarie avranno dei nodi, cioè degli zeri, in corrispondenza delle pareti in quanto il campo elettrico vale 0 nei metalli.

Si può calcolare la densità di energia come:

Dove g_3D è la densità dei modi normali e <E> è l’energia media di una singola onda.

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Una volta ricavata l’energia media la si può sostituire nel calcolo della densità spettrale di energia e si ottiene la legge di Rayleigh-Jeans:

Come si può osservare dal grafico, l’andamento della legge di Rayleigh-Jeans interpola bene i dati sperimentali, ma più ci si sposta verso frequenze maggiori, più aumenta la discrepanza tra i valori teorici e quelli empirici.

Il fallimento dell’approccio classico è evidente quando si prova a calcolare l’energia totale del corpo nero, integrando la funzione u(ν, T) in dν tra 0 e ∞. Questo integrale diverge all’infinito, vuol dire cioè che secondo la teoria classica il corpo emetterebbe un’energia infinita. Il che è chiaramente un risultato non accettabile.

La divergenza dell’integrale è chiamata catastrofe ultravioletta.

Max Planck e la quantizzazione dell’energia

La soluzione al problema della catastrofe ultravioletta è introdotta da Max Planck. Egli considera corretta la densità dei modi ma rivede il calcolo dell’energia media. Considera infatti l’energia come una variabile discreta e non continua come avevano fatto Rayleigh e Jeans. Nel calcolo dell’energia media l’integrale viene quindi sostituito da una sommatoria.

Planck ipotizza inoltre che l’energia di ciascuna onda debba essere quantizzata e che quindi le pareti del corpo nero e le onde stazionarie si scambiano solo “pacchetti” o quanti di energia.

Egli suppone che l’intensità del pacchetto di energia sia proporzionale alla frequenza.

Ancora una volta, ricavata l’energia media la si può sostituire nel calcolo della densità spettrale di energia e si ottiene.

I pacchetti minimi di energia sono detti fotoni e hanno energia pari a E_ph = h*ν.

Maggiore è la frequenza, maggiore è l’energia del singolo fotone.

Se la radiazione considerata è la luce visibile, l’energia del fotone è dell’ordine dell’elettronvolt.

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Effetto fotoelettrico

L’esperimento consiste in una camera da vuoto nella quale si ha un condensatore le cui armature sono collegate ad un amperometro. Sull’armatura negativa incide una radiazione elettromagnetica.

A seconda dell’intensità della radiazione si misurano diversi valori di corrente causata dagli elettroni che, strappati dall’armatura negativa giungono a quella positiva e vengono rilevati dall’amperometro come corrente.

L’energia cinetica degli elettroni messi in moto può essere calcolata invertendo la polarità del condensatore e aumentando differenza di potenziale ai suoi capi (V₀) gradualmente. Tutto ciò avviene finché la piastra positiva viene colpita dalla radiazione elettromagnetica.

Gli elettroni, per riuscire a mettersi in moto devono essere in grado di vincere la differenza di potenziale V₀ grazie alla loro energia cinetica E_k.

Quando nessun elettrone arriva sull’armatura opposta, ovvero quando l’amperometro registra una corrente pari a 0A, si è raggiunto il potenziale di soglia V_stop.

Si può così determinare anche l’energia cinetica E_k degli elettroni più energetici che è pari a:

Per la fisica classica mi aspetto che trascorra del tempo prima di poter osservare una corrente, che l’energia non dipenda dalla frequenza incidente e che se aumenta l’intensità gli elettroni dovrebbero andare di conseguenza più veloci.

Quello che invece si osserva è che:

• L’emissione di elettroni avviene solo se la frequenza della radiazione incidente è superiore ad una frequenza di soglia ν₀. Diversi metalli hanno diverse frequenze di soglia.
• Se ν < ν₀ non serve aumentare l’intensità I o aspettare che trascorra del tempo: non ci sarà nessuna emissione di elettroni.
• La massima energia cinetica E_k con cui escono gli elettroni dipende dalla frequenza e non dall’intensità I.
• Il numero di elettroni “strappati”, che si traduce in corrente elettrica, dipende dall’intensità I.

Quindi si ha che E_k = E_k(ν) e i=i(I), con la precisazione che i=0 per ν < ν₀.

Per spiegare l’effetto fotoelettrico bisogna partire dal modello a bande utilizzato per descrivere i livelli energetici degli elettroni.

Nei metalli gli elettroni di valenza sono liberi di muoversi all’interno del metallo ma non hanno energia sufficiente per lasciarlo.

Gli elettroni nella banda di valenza si trovano ad un livello energetico la cui energia è chiamata energia di Fermi, che corrisponde al più alto livello di energia occupato dagli elettroni a 0K.

Un elettrone è in grado di allontanarsi dal metallo solo se riesce a superare una cosiddetta barriera di potenziale.

La differenza tra l’energia di Fermi E_f e il livello energetico della barriera di potenziale è detta funzione lavoro φ₀.

La funzione lavoro è l’energia minima di estrazione, necessaria per allontanare un elettrone dal metallo.

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La radiazione è in grado di trasferire energia agli elettroni in maniera discreta e ciò significa che ogni elettrone è in grado di ricevere un solo pacchetto di energia.

Un pacchetto di energia, o fotone, ha, come ipotizzato da Planck, un’intensità pari a hν.

Queste ulteriori considerazioni spiegano perché è proprio la frequenza a determinare se l’elettrone riesce a sfuggire o meno.

Infatti l’emissione di elettroni si verifica solo quando hν > φ₀ e l’energia restante, non spesa per l’estrazione, diventa energia cinetica E_k.

Il fatto sorprendente di questa relazione è che Einstein utilizzò le stesse costanti utilizzate da Planck per risolvere il problema della catastrofe ultravioletta: quello che prima appariva come uno sviluppo teorico, un artifizio matematico realizzato ad hoc per interpolare i dati empirici, comincia ad acquisire maggiore veridicità grazie al suo impiego nella spiegazione di un fenomeno fisico.

Effetto Compton

L’esperimento consiste nel bombardare una lamina molto sottile con raggi X λ = λ₀ e, dopo aver scelto un angolo di riferimento, si analizza il tipo di radiazione uscente. In particolare si notano due picchi relativi a due lunghezze d’onda λ₀ e λ₁.

Quest’ultima dipende dall’angolo θ.

-> Picco elastico: una grande quantità di fotoni ha λ = λ₀ uguale a quella incidente. Si tratta di fotoni che colpiscono il nucleo, elettroni di core, e vengono quindi riflessi elasticamente.

-> Picco anelastico: una grande quantità di fotoni viene deflessa di un angolo θ e con una lunghezza d’onda superiore pari a λ₁, ossia a frequenza, e quindi energia, minore. È come se i fotoni avessero subito un urto inelastico a seguito del quale hanno perso parte della propria energia cinetica.

La presenza dei due picchi non è spiegabile con la fisica classica che prevederebbe che l’elettrone colpito dalla radiazione intraprenda un moto forzato sotto l’influenza del campo elettrico dell’onda incidente, e al tempo stesso si comporti come fonte per un’onda secondaria, diffusa, che deve avere λ = λ₀.

La lunghezza d’onda λ₁ può essere calcolata mediante la formula:

λ₁ = λ₀ + λ_c(1 - cos θ)

Dove λ_c = 2,42 * 10^-12 m è una costante empirica detta lunghezza d’onda di Compton.

Compton giustifica il secondo picco in corrispondenza di λ₁ trattando i fotoni come particelle. Considerando queste ipotesi, allora, quello che si verifica è un urto tra fotone ed elettrone durante il quale essi si scambiano energia.

Occorre però assegnare al fotone e all’elettrone un’energia cinetica e una quantità di moto:

Il fotone deve avere, per definizione, m=0 e v=c. Queste condizioni rendono inutilizzabili le stesse formule utilizzate per descrivere l’elettrone le quali porterebbero all’indeterminazione 0/0.

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Occorre allora utilizzare la seguente relazione, relazione relativistica tra energia e quantità di moto:

La quale, nel caso del fotone, che ha massa nulla, si riduce a: E_ph = pc.

Infine, dalle relazioni di Planck sappiamo che E_ph = h*ν quindi si ha che la quantità di moto di un fotone è pari a:

Ipotesi di de Broglie

De Broglie si pone la seguente domanda:

“Se la luce, un’onda, ha natura corpuscolare, anche le particelle materiali possono essere descritte come onde visto che è possibile l’inverso?”

In altre parole De Broglie ipotizza il dualismo onda particella.

Le ipotesi di De Broglie sono puramente teoriche, aventi come spunto sperimentale il solo esperimento di Compton.

Esperimento di Davisson e Germer

Diffrazione di elettroni

Davisson e Germer studiarono l’interferenza di elettroni per verificarne il comportamento ondulatorio.

Per il loro esperimento utilizzarono: un acceleratore di elettroni, un dispositivo che sfrutta l’effetto termoionico, un metallo riscaldato ad alte temperature e mantenuto in tensione emette elettroni, lavorando in una camera a vuoto; un reticolo di diffrazione. Poiché all’epoca non disponevano delle tecnologie necessarie per produrre strutture così piccole, dell’ordine dei nm e Å, utilizzarono dei cristalli per creare il reticolo di diffrazione, in particolare usarono dei sottili fili metallici.

Si procede indirizzando un fascio collimato di elettroni contro un film metallico monocristallino, alcuni di questi elettroni subiranno l’effetto che in ottica è chiamato diffrazione. Sulla parete opposta si forma una figura di interferenza, legata alla diffrazione, ma questo fenomeno è un comportamento tipico della radiazione.