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Grafico velocità-tempo

v(t)

x = y = 1 (m/s)

t

y = 1 s

x = 1 m/s

A

B

C

2

5

6

-2

-4

Calcolo della velocità nei punti A, B e C

Il punto materiale è inizialmente fermo;

v0 = 0: il grafico parte dall'origine 0.

L'accelerazione iniziale è -2 m/s2 ed è costante per 2 secondi:

a = Δv/Δt

Δv = a · Δt

= -2 m/s2 · 2 s

Δv = -4 m/s

Δv = vf - v0

Δv = vf = -4 m/s

Siamo in A (2 s; -4 m/s)

Dal grafico di v, vediamo che questa aumenta al valore di 1 m/s2 (accelerazione istantanea, quindi il tempo non cambia.

Accelerazione dal punto A al punto B

9) L'accelerazione dura per 3 s

a = Δv/Δt

Δv = a · Δt

= 1 m/s2 · 3 s

Δv = 3 m/s

Δv = vf - v0

= vB - vA

vB = Δv + vA

= 3 m/s - 4 m/s

= -1 m/s

Siamo in B (3 m/s - 1 m/s)

Accelerazione dal punto B al punto C

L'accelerazione diminuisce di nuovo "uniformemente" al valore di -1 m/s2 e dura per 1 secondo

-> calcoliamo il versore raggiungendo la velocità

Δv/Δt = a

Δv = a · Δt

= -1 m/s2 · 1 s = -1 m/s

vC = Δv + vB

= -1 m/s - 1 m/s = -2 m/s

Spostamento totale

Spostamento totale?

ttot = 6 s

Possiamo calcolarlo come area del grafico

m/s

t (s)

S = A1 + A2 + A3

A1 = [2 · (-4)] / 2 = -4 m

A2 (trapezio) = [(-4 - 1) · 3] / 2 = -15/2

A3 (triangolo) = [(-2 - 1) · 1] / 2 = -3/2

Area triangolo = b · h / 2

Area trapezio = (B + b) · h / 2

S = -(4 + 15/2 + 3/2) = -(4 + 18/2) = -13 m

Le velocità sono tutte negative.

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Sintesi

Interpretare i grafici delle grandezze cinematiche a(t) e v(t)

Osserviamo il grafico seguente:

In ordinata abbiamo l'accelerazione a(t), in ascissa il tempo t. Il grafico presenta dei tratti orizzontali e delle linee verticali. I tratti orizzontali sono tratti in cui l'accelerazione è costante al passare del tempo; i tratti verticali rappresentano le variazioni istantanee di accelerazione. Il moto di questo punto materiale dura 6 secondi ed è un moto vario. Il punto parte da fermo con accelerazione iniziale negativa di

[math]-2 m/s^2[/math]
e questa accelerazione dura per un intervallo di tempo
[math]\Delta t=2s[/math]
.

Partendo da fermo ha una velocità iniziale nulla. Applicando la definizione di accelerazione media calcoliamo la variazione di velocità e poi la velocità che il punto acquista dopo due secondi:

[math]a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}[/math]

da cui:

[math]\Delta v=v_f-v_0=v_f=a_m\bullet \Delta t[/math]
[math]v_f=-2m/s^2\bullet 2s=-4m/s[/math]

Ripetiamo il calcolo anche nell'intervallo successivo di 3 secondi dopo che l'accelerazione è passata da

[math]-2 m/s^2[/math]
a
[math]+1 m/s^2 [/math]
assumendo valore positivo. Sempre applicando la definizione di accelerazione media calcoliamo la nuova variazione e quindi la velocità acquisita dal punto. Dopo una successiva variazione istantanea in cui l'accelerazione riprende un valore negativo, per un intervallo di un secondo essa rimane costante determinando un ulteriore variazione di velocità che andiamo a calcolare sempre con la formula dell'accelerazione media.

Rappresentazione delle variazioni di velocità

Ora nel piano cartesiano riportiamo in ascissa il tempo e in ordinata i valori di velocità che abbiamo calcolato unendo i punti in corrispondenza dei tre intervalli di tempo di 2s, 3s, 1s, otteniamo una linea spezzata che rappresenta le variazioni di velocità nel tempo. Tutti i valori ottenuti sono negativi, il grafico infatti è situato nel quarto quadrante del piano cartesiano. Per calcolare lo spostamento totale effettuato dal punto materiale ricordiamo che in un moto vario durante un intervallo di tempo

[math]\Delta t[/math]
la distanza percorsa è pari all'area della superficie sottesa al grafico velocità-tempo individuata da quell'intervallo.

Osserviamo il grafico ottenuto:

L'area totale è somma dell'area di tre figure piane elementari: un triangolo rettangolo e due trapezi di cui sono noti tutti gli elementi. Considerando il segno negativo di tutte le velocità abbiamo come risultato finale uno spostamento di -13 m.

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