Integrali multipli; campi vettoriali: definizioni, identità differenziali, potenziale, integrale curvilineo.

Integrali nel piano e nello spazio

Significato fisico

Per fz di una variabile del tipo f: ℝ → ℝ _a^b f(x)dx = area del sottografico.

Analogamente per fz. di 2 variabili del tipo f: ℝ² → ℝ dato il rettangolo R = {(x,y)∈[a,b]x[c,d]} si ha che ∫_R f(x,y)dxdy = _[a,b]×[c,d] f(x,y)dxdy rappresenta il volume del sottografico.

Analogamente per l'integrale in 3 variabili: (integrali tripli): ∭ f(x,y,z)dxdydz dove D = {(x,y,z)∈[a,b]x[c,d]x[e,f]}.

OSS: i domini non sono sempre rettangoli o parallelepipedi, possono essere anche più complicati.

TEO: Se f: ℝ → ℝ è continuo, allora è integrabile.

Integrali nel piano e nello spazio

Significato fisico

Per fz di una variabile del tipo: f:ℝ→ℝ _a^bf(x)dx = area del sottografico.

Analogamente per fz. di 2 variabili del tipo f:ℝ²→ℝ dato il rettangolo R={(x,y)∈ℝ²| x∈[a,b]x[t,d] } a due due ∫_R f(x,y) dxdy = _a,bc,df(x,y)dxdy rappresenta il volume del sottografico.

Il volume del solido con base R.

NB: ∫f(x,y)dxdy si chiama integrale doppio poiché il dominio di integrazione è bidimensionale.

Analogamente per l'integrale in 3 variabili: (integrali tripli): ∭_Df(x,y,z) dxdydz dove D={(x,y,z)∈[a,b]x[c,d]x[e,g] }.

OSS: I domini non sono sempre rettangoli o parallelepipedi, possono essere anche più complicati.

TEO: Se f: ℝⁿ→ℝ è continua, allora è integrabile.

Teorema di riduzione per integrali multipli

Se f : R² → R è continua allora, se il dominio R = {[a, b] x [c, d]} si può calcolare come "integrale iterato", cioè valgono le seguenti uguaglianze:

_[a,b]x[c,d] f(x, y) dxdy = _c^d ( _a^b f(x, y) dy) dx = _a^b ( _c^d f(x, y) dx) dy.

Non importa se si integra prima rispetto a x o y; analogamente per gli integrali tripli e le più variabili è indifferente l'ordine di integrazione.

OSS: Per integrali di f a variabili separabili cioè del tipo f(x, y) = g(x) . h(y) vale anche _[a,b]x[c,d] f(x, y) dxdy = _a^b g(x) dx . _c^d h(y) dy.

Integrali su domini non rettangolari

In R² il dominio di integrazione spesso non è del tipo [a, b] x [c, d], ma può essere dato nei modi seguenti:

• D = { (x, y) | x ∈ [a, b], g(x) ≤ y ≤ h(x) }

→ siamo costretti a svolgere prima l'integrale in dy.

• D = { (x, y) | y ∈ [c, d], g(y) ≤ x ≤ h(y) }

→ siamo costretti a svolgere prima l'integrale in dx.

Calcolo di integrali multipli con cambiamento di variabilità

Formula di cambiamento di variabili

Sia f: R² → R. Per calcolare ∫∫_D f(x,y) dxdy n si procede così:

Si considera un'opportuna trasformazione di coordinate in cui (x, y) ↔ (u, v) e definita da x=g(u,v) y=h(u,v).

Allora si ha che ∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫∫_B f(g(u,v), h(u,v)) |J| dudv dove B è il dominio di D scritto nelle nuove variabili u e v e |J| è il v.abs del determinante delle matrici Jacobiane della trasformazione.

Aree e integrali

L'area di un dominio bidimensionale R è l'integrale su R della f₂: f(x,y)=1.

A=∫∫_R 1 dxdy.

Il volume di un dominio tridimensionale D è l'integrale su D della f₂: f(x,y,t)=1.

V=∫∫∫_D 1 dxdydz.

Es. Calcolare l'area del dominio R = {f(x,y)| 0≤x≤2, 0≤y≤x²}.

A=∫∫_R 1 dxdy= ₀²(₀^x2 dy) dx=₀² y|₀^x2 dx = ₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3.

Es: ∫_D (2x+y²) dx dy, D={ (x,y) | 1≤x²+y²≤4, x > 0, y ≥ 0 }.

Coord polari: x= ρcosθ, y= ρsenθ, J= ρ.

D= { (ρ,θ) | 1≤ρ≤2, 0≤θ≤π/2 }.

∫_D (2cosρ+ρ sen²θ, ρ) dρdθ=₀^π/2 ₁²( 2 cosθ ρ² + ρ sen²θ ) dρ dθ=₀^π/2 ( ₁² dρ( 2 ρ² cosθ ) + ₁² dρ ( ρ sen²θ ) dθ )=₀^π/2 ( 2 ₁² dρ ρ³cosθ dθ )=₀^π/2 senθ dθ = 9/2 senθ | ^π/2₀=₀^π/2 senθ dθ =-cosθ |^π/2₀ = cosθ = cos²θ→₀^π/2 senθ cosθ =senθ cosθ + θ /2.

Campi vettoriali

DEF Un campo vettoriale è una funzione F: ℝ³→ℝ³. Ad ogni vettore di ℝ³ associa un altro vettore di ℝ³.

OSS det( )=| a₁₁ a₁₂ a₁₃ |a₁₃=a₂₁ =A( a₁₁ a₂₂ a₃₃ - a₁₃ ) = B( a₂₃ a₁₃ a₂₃, a₁₃, a₂₁ ) + C( a₂₃ a₂₃ a₁₃ a₂₁ )a₁₁, a₁₂, a₁₃ = 0.

Per i campi vettoriali si usano le seguenti notazioni:

• F₁ ( x, y, z) = ( F₁ ( x₁, x₂, x₁) F₂ ( x₁, y₀, z) )→ i
• F₁ ( x, y, z ) = F₁( x₁, x₂ )i, j dove i j k sono vettori lungo le direzioni degli assi coordinati.

Operazioni sui campi vettoriali

^∇ è il gradiente di una f_i.

∇ = ^∂i/∂x + ^∂j/∂y + ^∂k/∂z.

∇ * V = ^∂F₁/∂x + ^∂F₂/∂y + ^∂F₃/∂z.

Divergenza di un campo vettoriale F

Sia F un campo vettoriale di classe C¹. Allora div F = ∇ * F = (somma) ^∂F_i/∂x_i= ^∂F₁/∂x + ^∂F₂/∂y + ^∂F₃/∂z.

"div F è un numero".

La def di divergenza è analoga per F: ℝⁿ→ℝ^m.

Rotore

Sia F: ℝ³ → ℝ³ di classe C¹.

rot F = ∇ x F.

N.B.: rot F è un vettore.

Oss: rot F = 0 → {^∂F₃/∂y - ^∂F₂/∂z = 0... (missing text for continuation) cioè le derivate coincidono.

Es: Dato F = z + xy²k + x³i - y k calcolare le div F e rot F.

F = (x, xy², x³ - y).

div F = ^∂f₁⁄_∂x + ^∂f₂⁄_∂y + ^∂f₃⁄_∂z = 2xy + x³.

rot F = ( e₁ e₂ e₃)_{∂x ∂y ∂zx xy² x³-y}= ( - ^{∂(x3 - y)}⁄_∂y - ^∂x2y⁄_∂z + ( ^∂(xy2)⁄_∂x + ^∂x⁄_∂z)j.

Identità differenziali

• Il gradiente trasforma un campo vettoriale f: R² → R in un vettore scalare ∇f ∈ R³.
• La divergenza trasforma un campo vettoriale F: R³ → R² in un altro campo scalare div F ∈ R.
• Il rotore trasforma un campo vettoriale F: R³ → R³ in un altro campo vettoriale rot F ∈ R³.

Proprietà

Si dimostra che:

• Dato f: R³ → R rot(grad(f)) = ∇ × (∇f).
• Dato F: R³ → R³ div(rot F) = ∇ × F = 0.
• Dato f: R³ → R div(∇f) = ∇ × f = ^∂f⁄_∂x + ^∂f⁄_∂y + ^∂f⁄_∂z = ^∂2x⁄_∂x² + ^∂2y⁄_∂y² + ^∂2z⁄_∂z².

DEF Dato f: R³ → R si definisce laplaciano di f la qta Δf = div(∇f)= ^{∂2x⁄_∂x2 + ∂2y⁄_∂y2 + ∂2z⁄_∂z2 somme delle derivate seconde non miste}.

Campi conservativi

DEF Un campo vett. F: ℝ³ → ℝ³ si dice conservativo se ∃ E: E ^c ed esiste una f: ℝ³ → ℝ detta potenziale di f t.c. ∀C ∈ E ^c ∇f = ∇U.

F₁ = ∂U/∂x, F₂ = ∂U/∂y, F₃ = ∂U/∂z.

OSS In fisica F è conservativo se è tale che F = -∇U dove E è l'energia potenziale.

Condizione necessaria per la conservatività di un campo vettoriale

Se F: ℝ³ è conservativo se ∇f = ∇U allora ∂F₁/∂y - ∂F₂/∂x = ∂(∂U/∂y)/∂x - ∂(∂U/∂x)/∂y = 0.

∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x = ∂(∂U/∂z)/∂x - ∂(∂U/∂x)/∂z = 0.

∂F₂/∂z - ∂F₃/∂y = ∂(∂U/∂z)/∂y - ∂(∂U/∂y)/∂z = 0.

Le derivate incrociate coincidono.

Quindi se E è conservativo allora è irrotazionale, cioè rot F = 0.

OSS Analogamente se F: ℝ² → ℝ è conservativo allora ∂F₂/∂x - ∂F₂/∂y = 0.

N.B. Non è vero il viceversa, in generale, cioè se le derivate incrociate coincidono non è detto che il campo sia conservativo serve un ip. in più.

DEF E⊂ℝⁿ è semplicemente connesso se È è connesso e ogni curva chiusa E⊂ può essere ridotta con deformazione continua a un punto senza uscire da E.

TEO Se F: E⊂ℝⁿ → ℝ³ è irrotazionale (con vedi AM) e il dominio E è semplicemente connesso, allora E è un campo conservativo.

Esercizio 1

• Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo F₁ = (3x²y - 2x) i + (x³ - 2x z) j dom(F) = R³ semplicemente connesso.
• Bisogna verificare che le derivate incrociate coincidono ∂F₂/∂y = 3x² = ∂F₁/∂x = 3x².
• ∂F₁/∂z = -2z ≠ ∂F₃/∂x = -2x.
• ∂F₂/∂z = 0 = ∂F₃/∂y = 0.
• Il campo è conservativo.
• Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo e, in caso affermativo, calcolare il potenziale. F₂ = (xsen(y) - 2x) i + xcos(y) j dom(F₂) = R² supp. connesso.
• ∂F₁/∂y = cos(y) = ∂F₂/∂x = cos(y), il campo è conservativo.
• Cerchiamo U | F = ∇U.
• ∂U/∂x = F₁ => U = ∫F₁ dx + V(y) = ∫xseny - 2x dx + V(y) = xseny - x² + V(y).
• ∂U/∂y = F₂ => U = ∫F₂ dy + V(x); ∫cosy dy + V(x) = xseny + V(x).
• Mettiamo insieme i risultati U = xseny - x².
• Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo. F₃ = (x/(x²+y²)) i + (y/(x²+y²)) j dom = R² \ {(0,0)}.
• Non basta verificare la condizione necessaria, dobbiamo calcolare esplicitamente il potenziale U tale che F₃ = ∇U.
• ∂U/∂x = F₁ => U = ∫(x/(x²+y²)) dx + V(y) = ∫ x/(x²+y²) dx + V(y) = ½ log(x² + y²) + V(y).

Forme differenziali lineari

DEF Indichiamo con dℓ il vettore spostamento infinitesimo definito come: dℓ = dx i + dy j + dz k.

DEF Dato un campo vettoriale F: ℝ³ → ℝ si chiama forma differenziale lineare associata a F la quantità: W = F · dℓ = F₁(x,y,z) dx + F₂(x,y,z) dy + F₃(x,y,z) dz.

OSS Ogni campo F individua una forma differenziale W e viceversa.

OSS Se F è una forza allora W = F · dℓ rappresenta il lavoro compiuto dalla forza F lungo uno spostamento infinitesimo dℓ.

DEF Una curva nello spazio rappresentata in forma parametrica è il grafico di una fz. f: ℝ → ℝ{ x(t), y(t), z(t) }.

Es y = x x ∈ [0,2] f x = t t ∈ [0,1].

Es Circonferenza di centro O e raggio 1 x² + y² = 1 { x = cos t y = sen t t ∈ [0,2π] }.

Integrale curvilineo di una forma differenziale

∃γ una curva parametrizzata da r(t) { x(t) = x(t) y(t) = y(t) z = z(t) t ∈ [a,b] }.

Definiamo integrale curvilineo di una forma differenziale lungo la curva γ l'integrale:

_γω = _γ [ F₁(x(t), y(t), z(t)) dx + F₂(x(t), y(t), z(t)) dy + F₃(x(t), y(t), z(t)) dz ].

Oss x = x(t) ⇒ dx = x'(t) dt y = y(t) ⇒ dy = y'(t) dt z = z(t) ⇒ dz = z'(t) dt.

ω = _a^b[ F₁(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + F₂(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + F₃(x(t), y(t), z(t)) z'(t) ] dt.

Es. data la forma differenziale in R² ω = x y dx - 3e^t dy calcolare il integrale lungo la curva γ: {x=t² y=3t t ∈ [0,1]}.

F₁(t) = x(t) y(t) = 3t³. x = t² ⇒ dx = dt dt ⇒ x'(t) = 2t.

F₂(t) = -3e^t y = 3t dy = 3 dt ⇒ y'(t) = 3.

_γ ω = ₀¹ 3t³ · 2t - 3e^3t · 3 dt = ₀¹ 6t⁴ - 9e^3t dt = 6/5 t⁵ |₀¹ - 1/3e^3t |₀¹ = 6/5 - 1/3e³ + 3.

Proprietà

• _γ (c₁ ω + c₂ ω;) = c_{1 γ} ω + c_{2 γ} ω; c₁, c₂ ∈ R linearità.
• _γ1^γ2 ω = _γ1 ω + _γ2 ω additività rispetto al cammino di integrazione.

Oss se fissiamo 2 punti A e B e consideriamo due curve diverse che congiungono A e B, sotto quali ipotesi vale _γ1 ω = _γ2 ω?

Def Se γ è chiuso si usa il simbolo ∮_γ ω e si chiama circolazione del campo F.

DEF ω è detta una forma di differenziale esatta sse esiste una f:R³→R t.c. ω=df cioè ω= ∂U/∂x dx + ∂U/∂y dy + ∂U/∂z dz allora ω si dice forma di differenziale esatta.

OSS Poiché ω=F·dr, il dire che ω è esatto equivale a dire che F è un campo conservativo.

DEF F= ∇U è rotazionale cioè le derivate incrociate coincidono e diciamo che la conrrespondente forma ω in R³ si dice forma chiusa.

N.B. Vedremo che se ω è esatto, cioè F=campo conservativo l'integrale di ω tra due punti A e B è indipendente dal percorso scelto per connetterli.

Teorema per il calcolo integrale per campi conservativi

Sia F=∇U un campo vettorial conservativo, cioè ω=F·dr forma differenziale esatta. Sia γ una curva regolare di equazione r(t)=(x(t), y(t), z(t)) con t ∈ [a,b] allora _γ ω = U(r(b)) - U(r(a)).

Gli integrali dipendono quindi solo dagli estremi e non dalla curva γ.

N.B: Ip.: F=∇U=(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z) γ = [x=x(t)] [y=y(t)] t ∈ [a,b] [z=z(t)].

_γ ω = _γ ∂U/∂x x'(t) + ∂U/∂y y'(t) + ∂U/∂z z'(t) dt = _γ (∂U/∂x dx/dt + ∂U/∂y dy/dt + ∂U/∂z dz/dt) dt =_a^b dU(x(t),y(t),z(t)) ṙ(t), a(t)) dt = _a^b dU(r(t)) = [ U(r(t)) ]_a^b = U(r(b)) - U (r(a)).