Integrali impropri appunti ed esempi svolti

Esame di analisi matematica 1

Appunti sugli integrali impropri ed esempi svolti.

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_{t → +∞} ∫_a^t f(x) dx

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_-∞^c f(x) dx + ∫_c^+∞ f(x) dx

Esame di analisi matematica 1

Appunti sugli integrali impropri ed esempi svolti.

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_t→+∞ ∫_a^t f(x) dx

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_-∞^c f(x) dx + ∫_c^+∞ f(x) dx

Formule

Integrali del I tipo

_a∫^+∞ f(x) dx = lim_t→+∞ t∫^a f(x) dx

_-∞∫^a f(x) dx = lim_t→-∞ t∫^a f(x) dx

_-∞∫^+∞ f(x) dx = lim_t→-∞ t∫^c f(x) dx + c∫^+∞ f(x) dx

Si può definire e calcolare improprio se f(x) è continua in (-∞, +∞) come derivata distanza minima.

_-∞∫^+∞ f(x) dx e _c∫^+∞ f(x) dx

Attenzione con quello di f(x) non calcolato né stabilito.

Se entrambi sono convergenti → f(x) è misurabile in forma impropria in (-∞, +∞) e l'integrale improprio è convergente.

Se entrambi divergono o uno diverge e l'altro converge → f(x) non è misurabile.

_-∞∫^+∞ f(x) dx = +∞ ∨ _-∞∫^+∞ f(x) dx = -∞

* Se uno è indeterminato e l'altro diverge → f(x) non è misurabile in (-∞, +∞) e dunque l'integrale improprio non esiste.

N.B.

Se f(x) è integrabile in senso improprio in (-∞, +∞) F(x) è una sua primitiva e c ∈ ℝ:

∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫_-∞^c f(x) dx + ∫_c^+∞ f(x) dx == lim_a→-∞ ∫_a^c f(x) dx + lim_b→+∞ ∫_c^b f(x) dx == lim_a→-∞ [F(c) - F(a)] + lim_b→+∞ [F(b) - F(c)] = lim_a→-∞ [-F(a)] + F(c) + F(c) + lim_b→+∞ [F(b)] - [F(c)]

∫_-∞^+∞ f(x) dx = lim_t→+∞ F(t) - lim_t→-∞ F(t)

Formule improprie del I tipo

Sono quelli che hanno un intervallo di integrazione finito _{[a, b]} con almeno un punto di discontinuità.

f(x) continua in _{[a, b]} discontinua nell’interno

∫_a^b f(x) dx = lim _ε→0⁺ ∫_a^{c - ε} f(x) dx per a ≤ c ≤ b

• Lim _ε→0⁺ l: f(x) è integrabile e l'integrale improprio è convergente
• Lim _ε→0⁺ ±∞: f(x) non è integrabile. L'integrale è divergente
• Lim _ε→0⁺ l±∞: non è integrabile e il motivo è noto

Gli altri casi

∫_a^b f(x) dx _{con f(x) definita in ]a, b]}

∫_a^b f(x) dx = lim_u→a⁺ ∫_u^b f(x) dx

∫_a^b f(x) dx = lim_ε→0⁺ [∫_a^a+ε f(x) dx + ∫_a+ε^b f(x) dx] _{con f(x) definita in ]a, b[}

N.B.

ε > 0

∫∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx = - lim_ε→0⁺ ∫_a^c-ε f(x) dx + lim_δ→0⁺ ∫_c+δ^b f(x) dx con f(x) definita in [a,c) ∪ (c,b]

N.B. Se f(x) è integrabile in senso improprio in [a,b] ∈ ℑ

∫_a^b f(x) dx = lim_t→b^- F(t) - lim_s→a⁺ F(s) (l'integrale è uguale alla differenza dei limiti delle primitive da dx ed è dx anche esterni