Integrale definito

Carlo Elce Appunti di analisi matematica www.matematicamente.it

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Integrazione

L'integrale definito

Se f è una funzione continua in [a, b] e tutte le somme f(c_k) Δx_k, con k = 1, tendono ad un unico limite I quando la massima dimensione degli intervalli parziali in cui possiamo suddividere [a, b] tende a 0, il numero reale I si dice l'integrale definito di f in [a, b].

La notazione è ∫_a^b f(x) dx. La funzione si dice integrabile in [a, b].

Quando una funzione g(x) è integrabile e non negativa in un intervallo [a, b], l'integrale ∫_a^b g(x) dx restituisce l'area della regione piana delimitata dal grafico di g, dall'asse x e dalle rette di equazioni x = a e x = b, rispettivamente.

Valutiamo l'integrale

Valutiamo ∫₁⁴ x dx.

Per la rappresentazione grafica bisogna fare riferimento alla seguente immagine:

6

4

2 0 2 4 6

La regione piana compresa tra il grafico di f(x), l'asse delle x e le rette verticali x = 1 e x = 4 è un trapezoide con lati paralleli all’asse delle y di lunghezza rispettivamente 1 e 4 e altezza, orientata orizzontalmente e da sinistra verso destra in questo esempio, uguale a 3.

La sua area è 1/2 · 3 · (1 + 4) = 7.5.