Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello

Si consideri una funzione f : A → R, con A ⊂ Rⁿ. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello di studiare le curve lungo cui la funzione si mantiene costante, ovvero i cosiddetti insiemi di livello.

Un insieme di livello di f è un insieme di punti in cui la funzione è costante, e si indica con una di queste notazioni:

{f = l} = {x ∈ A : f(x) = l} = f⁻¹(l), dove l ∈ R è fissato.

Ovviamente, se il valore l non appartiene all’immagine della funzione f, l’insieme di livello corrispondente coinciderà con l’insieme vuoto.

p

Esempio: Si consideri la funzione definita da f(x, y) = x + log(y).

Il dominio massimale della f si determina tenendo conto che una radice quadrata è definita quando il radicando è non negativo, mentre un logaritmo ha senso solo se il suo argomento è positivo.

y > 0     y > 0     y > 0

=     =     −x

y ≥ log(y)     log(y) ≥ −x     y ≥ e

Pertanto il dominio massimale della f, rappresentato in Figura 1, coincide con l’insieme

D = {(x, y) ∈ R² : y ≥ e^−x}.

L’insieme D è chiuso, infatti la frontiera è interamente contenuta nell’insieme stesso, ∂D = {(x, y) ∈ R² : y = e^−x} ⊂ D, non è limitato ed è connesso per archi. Studiamo ora gli insiemi di livello della funzione f; per ogni l ∈ R risulta

+

f(x, y) = l ⇒ x + log(y) = l ⇒ x + log(y) = l ⇒

log(y) = l − x ⇒ y = e^l · e^−x.

+

Pertanto, per ogni l ∈ R fissato, l’insieme di livello {f = l} coincide con

{(x, y) ∈ R² : y = e^l · e^−x}.

1

Figura 1: Rappresentazione grafica dell’insieme D dell’esempio precedente.

2

Limiti di funzioni di più variabili

La nozione di limite si estende con semplicità dalle funzioni in una variabile alle funzioni in più variabili. Sia f : R → R una funzione in una variabile, e sia x ∈ R. Il concetto di limite viene così definito:

lim f(y) = l, con l ∈ R, se

y→x

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |f(y) − l| < ε ∀y : 0 < |y − x| < δ.

Ovvero, la f tende a l quando il suo argomento tende a x, se per ogni ε maggiore di zero, è possibile trovare un δ maggiore di zero tale che, per ogni punto, escluso x, appartenente all’intorno di x con ampiezza δ, la differenza, in modulo, fra la rispettiva immagine tramite f e l non supera ε. In modo analogo si estende tale definizione anche alle funzioni in più variabili.

n

Definizione: Sia f : A → R, con A ⊂ Rⁿ, e sia x un punto di accumulazione di A. Allora

lim f(y) = l, l ∈ R, se

y→x

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che |f(y) − l| < ε ∀y : 0 < ky − xk < δ.

L’unica differenza rispetto al caso unidimensionale è che ora x e y sono vettori n-dimensionali, pertanto, per calcolare la loro distanza, è necessario ricorrere alla norma euclidea. Anche per funzioni di più variabili valgono le proprietà dei limiti rispetto al prodotto, alla somma e al rapporto, ovvero

Proposizioni: supponiamo che

lim g(y) = l e lim f(x) = m, con l, m ∈ R, allora

y→x     y→x

lim f(y) + g(y) = m + l

y→x