Insiemi – Cenni generali

Concetto di insieme e caratteristiche

Quando si parla di insieme, ci si riferisce a un raggruppamento formato da un determinato numero di elementi; tuttavia, per essere definito in ambito matematico, un insieme deve comprendere un determinato settore, senza informazioni vaghe; ad esempio, non si può considerare tale quello dei monti più alti d'Italia, perché bisognerebbe stabilire un “range”.

Un insieme è rappresentato con la lettera maiuscola, il numero di elementi che lo costituiscono si definisce “cardinalità” e si indica con due sbarre (es. I C I = 4) e per dire che un elemento fa parte dello stesso si usa il simbolo ∈.

Un insieme che non contiene elementi si dice vuoto e si indica col simbolo Ø.

Tipologie di rappresentazione

Un insieme si può rappresentare in 3 maniere differenti:

• Per elencazione, in cui si elencano tutti gli elementi; a volte si possono mettere i tre puntini quando l'insieme degli elementi è molto corposo. Esempio: A = {Lunedì, Martedì, Mercoledì, Giovedì, Venerdì, Sabato, Domenica}
• Per caratteristica, in cui si descrive l'insieme trovando una caratteristica in comune a tutti gli elementi. Esempio: A = {x/ x è un giorno della settimana}
• Diagramma di Eulero-Venn, in cui gli elementi vengono posti all'interno di ovali tramite rappresentazione grafica.

Inoltre, è bene ricordare che non conta l'ordine degli elementi e non si può contare due volte lo stesso elemento, anche se si ripete.

Operazioni

Tra le principali operazioni tra insiemi vi sono:

• L'intersezione tra due insiemi, che consiste nella formazione di un terzo che contiene tutti gli elementi comuni a entrambi (A ∩ B); la definizione è: {x/ x ∈ a ∧ x ∈ b);
• L'unione tra due insiemi, che è un terzo insieme che comprende tutti gli elementi, comuni e non comuni, degli insiemi (A U B); la definizione è {x/ x ∈ a V x ∈ b);
• La differenza tra due insiemi, in cui da un insieme A si sottraggono tutti gli elementi in comune con altri insiemi, così che rimangano quelli contenuti solo in tale insieme (A - B); la definizione è {x/ x ∈ a ∧ x ∉ b);
• Il prodotto cartesiano, in cui si associano a coppie (dette coppie cartesiane) un elemento appartenente al primo insieme e un altro appartenente al secondo. È bene soffermarsi su questo punto, perché non vale la proprietà commutativa: dire A X B è diverso da dire B X A; infatti bisogna rispettare la regola per la quale il primo elemento della coppia ordinata appartiene al primo fattore del prodotto, mentre il secondo appartiene al secondo insieme considerato.

Dunque, se nel prodotto A X B la coppia ordinata è (a,b) significa che a appartiene all'insieme A, mentre b appartiene a B.

Sottoinsieme, insieme delle parti e partizione

Correlati agli insiemi, vi sono altri elementi:

• Il sottoinsieme, un insieme più piccolo di quello principale che è contenuto in esso (simbolo: ⊂); tutti i suoi elementi sono contenuti nell'insieme principale, e a volte capita che i due insiemi coincidano, perciò si dice che uno è “contenuto impropriamente” nell'altro.
• L'insieme delle parti, che contiene tutti i sottoinsiemi possibili di un insieme; la sua cardinalità è data dalla potenza di 2 elevato alla cardinalità dell'insieme stesso: se ad esempio un insieme contiene 3 elementi, la cardinalità dell'insieme delle parti sarà data dalla potenza di 2³, quindi 8. È bene precisare che tra tutti questi sottoinsiemi, un insieme ne contiene 2 impropri: si tratta dell'insieme vuoto e dell'insieme stesso;
• La partizione di un insieme, formata dai sottoinsiemi di un insieme A. Essi formano la sua partizione se non sono vuoti, se sono disgiunti, e quindi non hanno elementi in comune, e se la loro unione dà come risultato l'insieme A.

Proprietà

Le principali proprietà degli insiemi sono le seguenti:

• Idempotenza (unione e intersezione): A ∩ A = A A U A = A
• Commutativa (unione e intersezione): A ∩ B = B ∩ A A U B = B U A
• Associativa (unione e intersezione): A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A U (B U C) = (A U B) U C
• Distributiva (dell'unione rispetto all'intersezione e dell'intersezione rispetto all'unione): A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
• Legge dell'assorbimento: A U (A ∩ B) = A A ∩ (A U B) = A
• Leggi di De Morgan: A U B = A ∩ B A ∩ B = A U B