Sistemi lineari, Parte I

Teoria degli insiemi

L'insieme è una raccolta/collezione di oggetti, a due a due distinti, che soddisfano una proprietà.

Si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto.

Ciò che fa parte dell'insieme si dice "elemento".

L'elemento può appartenere (∈) o non appartenere (∉) all'insieme.

∅ insieme privo di elementi (insieme vuoto).

IΝ insieme dei numeri naturali (escluso lo zero) ΙΝ 1, 2, 3, 4... !N0 insieme dei numeri naturali (incluso lo zero) N0 0, 1, 2, 3... !

ℤ numeri interi relativi ℤ±1, ±2, ±3... !

ℚ numeri razionali (finiti o infiniti periodici) ℚ 1/9, π∈ℤ/9ℤ97-ℝ numeri irrazionali + numeri razionali.

Singleton = insieme con un unico elemento.

Inclusione tra insiemi

Un insieme A è incluso in B se: ∀x ∈ A x ∈ B. Allora possiamo affermare:

A ⊂ B, non vale viceversa.

A ⊂ B A ∉ B possono coincidere, ma A è contenuto in B strettamente.

A ⊂ B (A è contenuto) in B, A ∉ B, non possono coincidere.

A contiene B: A è il più piccolo di B.

A ⊂ A A è contenuto in se stesso.

∅ ⊂ A L'insieme vuoto è contenuto in A.

L'insieme delle parti P(u) è quell'insieme che ha come elementi altri insiemi.

A/G 1 25/09/17

Teoria degli insiemi

L'insieme è una raccolta/collezione di oggetti a due a due distinti, che soddisfano una proprietà.

S'indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto.

Ciò che fa parte dell'insieme si dice "Elemento".

L'elemento può appartenere (∈) o non appartenere (∉) all'insieme.

Ø insieme privo di elementi (insieme vuoto).

IN insieme dei numeri naturali (escluso lo 0) ℕ | 1, 2, 3, 4... |

ℕ₀ insieme dei numeri naturali (incluso lo 0) ℕ₀ | 0, 1, 2, 3... |

ℤ numeri interi relativi ℤ | ±1, ±2, ±3... |

ℚ numeri razionali (finiti o infiniti periodici) ℚ | p/q p∈ℤ q∈ℤ\{0}

-ℝ numeri irrazionali: numeri non razionali.

Singleton: insieme con un unico elemento.

Un insieme \( A \) è incluso in \( B \) se: \( \forall x \in A \rightarrow x \in B \). Allora possiamo affermare: \( A \subseteq B \), non vale viceversa.

\( A \subset B \) A ∈ B possono coincidere, ma A è contenuto in B strettamente.

\( A \not\subset B \) A ∉ B contenuto ⊆ in B. A ∉ B, non possono coincidere, A è più piccolo di B.

\( A \subset A \) A è contenuto in se stesso.

Ø ⊆ A L'insieme vuoto è contenuto in A.

L'insieme delle parti \( P(u) \) è quell'insieme che ha come elementi altri insiemi.

Proprietà e sottoinsiemi

L'insieme è definito da una proprietà che accomuna tutti gli elementi.

Una proprietà si dice definita in un insieme se:

Definita: siamo in grado di capire se una determinata proprietà è soddisfatta o meno da ogni elemento dell'insieme.

Importante: non importa se la proprietà è soddisfatta o meno, ma deve essere stabilito.

Una proprietà mi permette inoltre di creare altri due due sottinsiemi; a partire da un insieme originario.

• 1° sottinsieme - soddisfa la proprietà (è composto da elementi che soddisfano la proprietà).
• 2° sottinsieme - sottoinsieme complementare (è composto da elementi che non soddisfano la proprietà).

Quantificatori

∀ = "per ogni".

∃ = esiste (esiste almeno).

∃! = esiste uno solo " ".

Operazioni con insiemi

A ∩ B - è un insieme di elementi che appartiene ad A e a B. (Intersezione)

A ∩ A = A.

A ∩ ∅ = ∅ - non ci sono elementi in comune tra A e un insieme vuoto.

(Unione) A ∪ B - un nuovo insieme che contiene sia gli elementi di A che di B, presi una volta.

A ∪ A = A.

A ∪ ∅ = A.

|A| = l'ordine dell'insieme, gli elementi che fanno parte di A.

P ∪ R sono due proprietà definite in S.

Se un elemento soddisfa la proprietà P allora soddisfa anche R.

P ↔ R _(Implica)

Se un elemento soddisfa la proprietà P allora soddisfa anche R.

P ↔ R P ∪ R sono due proprietà equivalenti.

A ⊂ B ↔ A ∩ B = A.

A ⊆ B ↔ A ∪ B = B.

A - B = tutti gli elementi di A che non appartengono anche a B.

A - B = { x | x ∈ A e x ∉ B }.

A - B ≠ B - A.

Prodotto cartesiano

A × B = { (a ; b) | a ∈ A, b ∈ B }.

Esempio:

A = { 3, -5, 8 }   B = { 1, 2 }

A × B = { (3 ; 1), (3 ; 2), (-5 ; 1), (-5 ; 2), (8 ; 1), (8 ; 2) }.

A × B ≠ B × A.

Funzioni

f : S → T

Funzione definita in S a valori in T.

Definizione: una legge che a ogni elemento di S associa uno e uno solo elemento di T.

• Tutti gli elementi di S devono essere associati.
• Non tutti gli elementi di T devono essere associati.
• A un elemento di T possono corrispondere più elementi di S.

S = dominio   T = codominio.

L'immagine di funzione è l'insieme di T composto da tutti gli elementi che, appartenenti a T, sono associati attraverso f a S.

Quando j(S) = ∑_mj = T la funzione si dice suriettiva.

La funzione si dice iniettiva.

Una funzione che, sia iniettiva che suriettiva si dice biiettiva ed esiste la funzione inversa.

Esempio:

La funzione risulta essere suriettiva infatti ad ogni elemento del codominio corrisponde uno e un solo elemento del dominio; infatti esiste la funzione inversa.

Ad ogni valore di y corrispondente un valore di x → funzione suriettiva.

Ad ogni elemento di y corrispondente uno e un solo valore di x → funzione iniettiva.

Non è biiettiva.

Non è biiettiva.

A/G 4. 25/09/17

Funzione composta

f: S → T

g: T → K

g∘f: x ∈ S → df(x) ∈ T → g → g(f(x)) ∈ K (composta).

Esempio:

f: x ∈ ℝ → x² ∈ ℝ⁺

g: y ∈ ℝ → 3y+1 ∈ ℝ

g∘f: x ∈ ℝ → x² ∈ ℝ⁺ → 3x²+1 ∈ ℝ⁺

Proprietà della funzione composta

f∘f⁻¹: identità.

f⁻¹∘f.

g∘f ≠ f∘g.

identità_T

identità_S

f: S → T

f⁻¹: T → S

f∘f⁻¹: x ∈ T → f⁻¹ f(x) ∈ S → f(f⁻¹(x)) ∈ T.

Ho ottenuto x ∈ T.

f⁻¹∘f: x ∈ S → f(x) ∈ T → f⁻¹(f(x)) ∈ S.

Ho ottenuto x ∈ S.