In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità  di misura u; trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l'equazione...

Luogo dei punti P

In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità di misura u;

trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l’equazione del luogo dei punti P di tale piano per cui il perimetro del triangolo ABP è 14u (si consiglia di riconoscere di che luogo si tratta prima di fissare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale).

Svolgimento a cura di Francesco Camia

AP + BP + AB = 14

Il punto P deve soddisfare la condizione ed essendo la misura di AB per ipotesi 4u, la condizione a cui deve soddisfare P diventa:

AP + BP = 10

da cui si riconosce che il luogo in questione è l’ellisse di fuochi A e B ed asse maggiore di misura 10u.

Conviene pertanto assumere la retta AB, orientata da A verso B, come asse x, il punto medio del segmento AB come origine O, la perpendicolare ad AB in O come asse y; inoltre conviene tenere l’unità di misura u anche per il sistema d’assi cartesiani scelto.

y

A  B  x

La distanza dei fuochi, solitamente indicata con 2c, risulta 4; i fuochi dell’ellisse hanno coordinate ±2;

(±2, 0); l’asse maggiore si trova sull’asse x ed ha misura 10.

L’equazione dell’ellisse sarà del tipo

x²/a² + y²/b² = 1,

con 2a = 10 e 2c = 4; ricordando che b² = a² − c², risulta che b² = 25 − 4 = 21, da cui si ottiene a = 5, b = √21.

L’equazione del luogo, in base al sistema di assi cartesiani ortogonali scelto, è dunque

x²/25 + y²/21 = 1