In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità  di misura u; trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l'equazione...

In un piano è dato un segmento AB di misura 4 rispetto ad una fissata unità di misura u;

trovare, rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto, l’equazione

del luogo dei punti P di tale piano per cui il perimetro del triangolo ABP è 14u (si consiglia di

riconoscere di che luogo si tratta prima di fissare il sistema di riferimento cartesiano ortogonale).

Svolgimento a cura di Francesco Camia

P

+ + = 14

Il punto P deve soddisfare la condizione ed

essendo la misura di AB per ipotesi 4u, la condizione a cui deve sod-

+ = 10

disfare P diventa: , da cui si riconosce che il luo-

A B go in questione è l’ ellisse di fuochi A e B ed asse maggiore di mi-

sura 10u. Conviene pertanto assumere la retta AB, orientata da A ver-

so B, come asse x, il punto medio del segmento AB come origine O, la perpendicolare ad AB in O

come asse y; inoltre conviene tenere l’unità di misura u anche per il sistema d’assi cartesiani scelto.

y

A B x

La distanza dei fuochi (solitamente indicata con 2c) risulta 4, i fuochi dell’ellisse hanno coordinate

±2;

( 0); l’asse maggiore si trova sull’asse x ed ha misura 10. L’equazione dell’ellisse sarà del tipo

+ = 1

2 2 2 √ − =

, con 2a = 10 e 2c = 4 ; ricordando che b = a – c , risulta che , da

2

√25 − = 2

cui si ottiene a = 5, , da cui b = 21. L’equazione del luogo, in base al sistema di

assi cartesiano ortogonali scelto, è dunque

+ =1