Il teorema di Pitagora e la nascita del pensiero matematico

Il teorema di Pitagora

La nascita del pensiero matematico

Prof. Giuseppe Rocco

Elementi di geometria solida e piana: applicazioni didattiche

Sommario

Sommario ............................................................................................................................................. 1

1. Introduzione ............................................................................................................................. 3

2. Gli amanti della verità .............................................................................................................. 7

3. Pitagora di Samo ....................................................................................................................... 8

• La scuola pitagorica ........................................................................................................... 9
• La musica ......................................................................................................................... 12
• La Tetraktis ...................................................................................................................... 13
• La teoria encefalocentrica ................................................................................................ 15
• L’astronomia .................................................................................................................... 15
• Keplero ............................................................................................................................ 16

4. La crisi della scuola pitagorica ............................................................................................... 16

5. Gli incommensurabili ............................................................................................................. 17

• Dimostrazione per assurdo degli incommensurabili ........................................................ 19

6. Il “teorema di Pitagora” non è di Pitagora ............................................................................. 20

• Dinastia Hammurabi (Babilonia) ..................................................................................... 20
• Dinastia Shang (Cina) ...................................................................................................... 21

7. Il teorema di Pitagora nell’antichità ....................................................................................... 22

• In Cina ............................................................................................................................. 22
• In India ............................................................................................................................. 23
• In Arabia .......................................................................................................................... 23
• In Egitto ........................................................................................................................... 25

8. Dimostrazione di Euclide ....................................................................................................... 26

• Euclide ............................................................................................................................. 28

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9. Altre dimostrazioni del teorema di Pitagora .......................................................................... 31

• Dimostrazione di Perigal ................................................................................................. 31
• Dimostrazione di Pomi con i quadrati concentrici .......................................................... 31
• Dimostrazione di Garfield ............................................................................................... 32
• Dimostrazione di Tempelhoff .......................................................................................... 33
• Dimostrazione con il primo teorema di Euclide .............................................................. 33

10. Generalizzazioni del teorema di Pitagora............................................................................... 34

• Teorema di Carnot ........................................................................................................... 34
• Il teorema dei seni ............................................................................................................ 34

11. L’altra faccia del teorema di Pitagora .................................................................................... 35

• Diofanto di Alessandria ................................................................................................... 37
• Equazioni diofantee ......................................................................................................... 38
• Oltre le terne pitagoriche. ................................................................................................ 38

12. Il teorema di Fermat ............................................................................................................... 40

13. Conclusioni............................................................................................................................. 43

14. Bibliografia............................................................................................................................. 44

15. Sitografia ................................................................................................................................ 45

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1. Introduzione

2500 anni fa, nel sud dell’Italia, in quella che oggi è la Calabria, più in particolare nella città di Crotone, qualcuno, un personaggio forse mitologico, forse realmente esistito, che aveva nome Pitagora, Pitagora da Samo, perché in origine proveniva da Samo, si trovò a fare una scoperta che è una scoperta costitutiva di ciò che oggi noi chiamiamo scienza.

Osservando la realtà, gli antichi sentirono l’esigenza di trovare delle regole armoniche che la spiegassero. Questo è il punto di partenza del racconto di come, attraverso il numero e la forma, siano nate l’aritmetica e la geometria. Esse costituiscono l’inizio di un pensiero che si accontenta solo di verità che siano dimostrabili in modo inoppugnabile dalla ragione. Pitagora ed Euclide, con le loro intuizioni e le loro ricerche, segnano i due momenti fondanti di questa epocale rivoluzione.

Pitagora capì che la matematica era un linguaggio universale che poteva servire sia alla scienza sia all’umanesimo e su questo costruì la sua filosofia, per Pitagora tutto è numero, ma i numeri allora utilizzati erano solo i numeri che oggi chiamiamo razionali, le frazioni, per cui il motto di Pitagora può essere sintetizzato in tutto è numero razionale e, tralasciando la parola numero, per Pitagora: tutto è razionale! La ragione riesce a descrivere la fisica e la natura da una parte, l’umanesimo e le arti dall’altra.

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Nell’insegnamento della geometria piana euclidea il teorema di Pitagora svolge un ruolo centrale perché non solo stabilisce una proprietà universale di cui godono tutti i triangoli rettangoli, ma anche perché rappresenta uno strumento potente di applicazione all’interno della stessa matematica o in altri ambiti scientifici come la fisica e l’astronomia.

Il teorema di Pitagora è un argomento fondamentale nel triennio della scuola media in quanto collega fra di loro nozioni geometriche come la conoscenza del triangolo rettangolo e il concetto di figure piane equivalenti ed aritmetiche come il calcolo della radice quadrata di un numero. Si applica poi alle principali figure geometriche piane e solide.

Esso è inoltre strettamente collegato al concetto della misura delle lunghezze, indispensabile in ogni struttura geometrica, dalla geometria analitica alla geometria tensoriale e delle varietà riemanniane, inclusa la teoria della relatività generale.

L’importanza di questo teorema fu riconosciuta fin dall’antichità se, secondo l’ipotesi avanzata per la prima volta dal matematico e storico della matematica H. G. Zeuthen (1839-1920) e condivisa ampiamente dagli storici della matematica, fu proprio il desiderio di giustificare e dimostrare il teorema di Pitagora che condusse i geometri greci a costruire un complesso di proposizioni concatenate l’una all’altra, risalendo fino a quelle più semplici mediante il procedimento di analisi, per cui poi con il procedimento inverso di sintesi dalle semplici proposizioni iniziali si potesse discendere, per gradi di complessità maggiore, fino al detto teorema di Pitagora. Sarebbe stato, quindi, tale teorema, proprio nella ricerca della sua giustificazione logica, a dare l’avvio, secondo Zeuthen, alla geometria razionale. L’ipotesi di Zeuthen ha avuto molta fortuna ed è stata ripresa dagli studiosi anche recentemente.

La dimostrazione data da Euclide ebbe varia fortuna nella didattica del teorema di Pitagora, ma ben presto ad essa furono preferite due altre dimostrazioni: la prima, basata sulla similitudine e la seconda, quella più usata, sfrutta il cosiddetto I teorema di Euclide.

Euclide non fornisce esplicitamente queste dimostrazioni del teorema di Pitagora, l’unica dimostrazione presentata è ormai scomparsa dai libri di testo scolastici, così com’è quasi scomparsa la dimostrazione dell’inverso del teorema, che peraltro ha molte applicazioni didattiche, e che venne conosciuta molto prima della proposizione diretta, com’è testimoniato, per esempio, dalla famosa tavoletta babilonese denominata Plimpton 322 risalente all’incirca al periodo babilonese antico (1900-1600 a.C.).

Nella didattica della matematica che viene insegnata nelle scuole secondarie accade spesso che alcuni teoremi siano soltanto enunciati ma non dimostrati oppure, secondo le esigenze della programmazione, illustrati con esempi particolari.

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Sta di fatto che, qualunque sia la tipologia della scuola secondaria, e qualunque sia il programma di matematica che viene svolto, le dimostrazioni dei teoremi sono state ridotte ad un esiguo numero e questa situazione è molto diffusa.

Non è facile cercare di discernere le ragioni di questa prassi educativa, anche perché è ormai invalso l’uso o meglio l’abito mentale di ritenere che non sia opportuno dimostrare tutto in quanto è proprio questa una delle cause principali della disaffezione degli studenti nei riguardi della matematica.

In poche parole, più alto è il numero delle dimostrazioni che si fanno, più prenderebbe piede nella mente degli allievi la convinzione che la matematica sia intrinsecamente difficile e adatta ad essere compresa solo da pochi eletti.

In parte, tale costume è un retaggio della stagione in cui J. Dieudonné lanciò il fatidico grido “Abbasso Euclide!”, ma in parte è anche la conseguenza di un giro di boa dell’insegnamento della matematica, portato avanti da alcuni decenni, per cui si tende sempre più ad utilizzare software didattici come il Cabri-géomètre o il foglio elettronico Excel o Derive per offrire una diversa trasposizione didattica di alcuni argomenti disciplinari. Indubbiamente, ciò ha costituito e costituisce un valido ausilio didattico per la matematica, ogni qualvolta l’uso di questi software non si riduca per l’allievo a una semplice abilità strumentale non sostenuta da una adeguata conoscenza teorica del problema matematico in esame.

Così, è molto istruttivo fare “toccare con mano” agli allievi, mediante l’uso di un foglio elettronico, come il valore di un numero irrazionale, quale la radice quadrata di 2, possa essere approssimato con quante cifre decimali si voglia, previa conoscenza dei diversi modi di dimostrare l’irrazionalità del numero.

In caso contrario, a lungo andare, si indebolirebbe la struttura teorica della matematica da insegnare, ed è questo uno dei motivi che hanno indirizzato la ricerca in didattica della matematica verso due possibili soluzioni per interessare gli allievi a quel momento cardine del sapere matematico costituito appunto dalla dimostrazione.

Da un lato, gruppi volenterosi di ricercatori hanno ideato alcuni software di geometria come il già ricordato Cabri-géomètre o Geo-Gebra (per citarne due tra i più famosi) in modo da attivare l’interesse degli studenti verso le costruzioni geometriche e la dimostrazione geometrica sintetica nella scia di quelle della geometria euclidea, con la differenza molto accattivante che le costruzioni o le dimostrazioni hanno aspetti dinamici che prima mancavano forzatamente quando esse venivano effettuate alla lavagna con il gesso. Infatti, mediante questi nuovi strumenti, gli allievi possono rendersi conto subito e visivamente come cambia l’intera figura o parti di essa quando se ne fanno variare alcuni elementi.

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D’altra parte, ormai da decenni, è sorta una vasta comunità di ricercatori in didattica della matematica che svolgono le loro ricerche sui temi dell’argomentare, del congetturare e del dimostrare proprio per comprendere sempre meglio in che modo queste attività vengano recepite dagli allievi di età diversa e cosa fare per migliorarne la qualità.

Queste iniziative lodevoli rientrano nel vasto ambito dei problemi messi in atto dalla trasposizione didattica sulle differenze esistenti tra la contestualizzazione originaria dei concetti, delle nozioni, dei teoremi che vengono studiati e la loro contestualizzazione in ambito didattico, cioè in quel contesto sempre singolare e sempre unico che è la classe.

È noto come parte della ricerca sulla didattica della matematica miri a trovare le cause di queste differenze e a suggerire alcune riflessioni sul ruolo della storia della matematica nella didattica della matematica. Infatti, la trasposizione didattica del sapere matematico ha anche una grave conseguenza, cioè, la sua destoricizzazione, per cui esso appare atemporale, semplicemente al di fuori della storia.

Ciò porta a due strascichi inevitabili che si radicano nella mente e nel cuore degli allievi.

• Il primo porta l’allievo inevitabilmente a ritenere che ciò che egli studia con tanta fatica sia avulso da ogni contesto sociale e infine reale, intendendo con tale termine la realtà della vita quotidiana. Spesso, infatti, gli allievi accusano la matematica d’essere una disciplina astratta e quindi difficile ovvero (secondo la loro opinione) difficile da comprendere nella sua concettualizzazione, in quanto non fa riferimento esplicito a oggetti del loro vissuto.
• Il secondo è la sclerotizzazione delle nozioni matematiche, che appaiono caratterizzate solo dalla loro pertinenza e utilità nel contesto di un dato settore matematico che gli allievi devono apprendere.

Sono proprio questi i pericoli che incombono sulla corretta acquisizione da parte degli allievi del sapere matematico e che favoriscono in primo luogo tutti i paradigmi interpretativi della matematica da parte dei discenti.

A ciò può anche aggiungersi la scelta pericolosa da parte dell’insegnante di decidere, secondo il contesto in cui deve svolgere la sua opera, di eliminare parte dei concetti o dei teoremi da insegnare per “snellire” il programma e abbassare la soglia di possibile difficoltà incontrate dagli allievi nel processo di apprendimento della disciplina.

Credo che tale scelta sia pericolosa se non è supportata da un preciso disegno educativo che tenga conto di due fattori essenziali: primo, offrire agli allievi sempre un’informazione corretta e completa; secondo, non cercare mai di banalizzare il sapere.

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Può, infatti, accadere il caso estremo di non ritenere più necessario un concetto o un dato teorema ai fini di economizzare in maniera arbitraria un certo campo del sapere matematico, come, per esempio, quello della geometria euclidea.

Ciò significa spesso tradire proprio uno dei cardini dell’insegnamento che ho ricordato prima: informare in maniera completa, affinché gli allievi non vengano a trovarsi in situazioni ambigue.

2. Gli amanti della verità

Nell’antica Grecia, in cui la scienza non era ancora suddivisa in specializzazioni, gli scienziati erano in primo luogo filosofi, ovvero, come dice la parola, “amanti della verità”. Erano i sapienti, coloro che conoscevano le cose della natura e del mondo umano perché ne avevano compreso la causa, il principio. Alle basi del razionalismo scientifico della civiltà occidentale si trova quindi l’interrogazione filosofica. Talete, Anassimandro, Eraclito, Parmenide, Pitagora, furono i primi sapienti che indagarono la natura con osservazioni attente e misurazioni, introdussero la ricerca che si contrapponeva all’osservazione superficiale della realtà e all’accettazione acritica del mito.

È grazie a loro che sono nate la matematica, la geometria, l’astronomia, la fisica, la biologia, la medicina, perché furono i primi a mostrare una propria consapevolezza delle possibilità della ragione umana e dell’esperienza e a produrre argomentazioni e procedimenti empirici. Con il termine filosofia, Platone e Aristotele indicavano sia la scienza dell’essere, sia le scienze particolari, come la geometria e la fisica. Con la nascita della scienza moderna il sapere filosofico e quello scientifico hanno intrapreso strade differenti, aumentando nei secoli la loro separazione.

Nell’antichità non c’era distinzione tra matematica, fisica, biologia, geometria e tra le altre scienze della matematica applicata, ma anche i problemi che iniziano ad arrivare alla matematica e quindi alla scienza partono da necessità molto pratiche, ad esempio in India si costruivano degli altari molto complicati.