Il teorema di caratterizzazione dei limiti

Teorema di caratterizzazione L. Lecci 1

Sul teorema di caratterizzazione

Studiare il limite 2

x

− − cos 1

e x

2 ⋅

lim

+ + − 



3

→ 1

x x x

0

x − 



1 cos x 



Il limite proposto non esiste e faremo vedere l’affermazione utilizzando il teorema di

caratterizzazione del limite. Ricordiamo l’enunciato del teorema :

Teorema di caratterizzazione del limite

⊆

→ A R

f : A R ∈D

, con una funzione reale di variabile reale ed x (A). Le due

Sia o r

proposizioni seguenti sono equivalenti

( )

∃ =

1) lim f x l

→

x x 0 ( )

x di punti del dominio A convergente al

2) Comunque si sceglie una successione ∈

n n N

( ( )

)

f x

punto x il limite della successione esiste ed è uguale ancora ad l.

o ∈

n n N

In simboli ( )

( ) ∀ ∈ ∧ = ⇒

 

→ ⊆ ∈ x ., x A ..

tale

..

che

.. lim x x

 

f : A R , A R , x D A  

∈ 0

n n n

n N

 

0 r → +∞

n

⇔

( ) ( )

∃ =  

 

lim f x l ∃ =

.. lim f x l

   

n

→

x x → +∞

n

0

Dimostrazione

Osserviamo intanto che il numeratore ed il denominatore della prima frazione sono due

+ e conviene sviluppare i due termini che figurano al numeratore con la formula

infinitesimi per x→0

di Mac-Laurin per avere la possibilità di stabilire il tipo di infinitesimo. Per il denominatore si potrà

far ricorso ad un limite notevole per individuare l’infinitesimo equivalente.

Sussistono i seguenti sviluppi

2 2 4

2 4 x x

x x

x ( )

( )

− = − + +

= − + + 4

1

4 cos x o x

1

e o x

2 , ,

2 8 2 24

4 +

essendo o(x ) un infinitesimo di ordine superiore a quattro per x→0 . Pertanto il numeratore può

essere scritto nella forma

 

2 4 4 4

x x x

x ( ) ( )

− − = − + = +

4 4

e cos x o x o x

2 . (1)

 

8 24 12

 

Per il denominatore si osservi che

 

( )

1

+ − = ⋅ + −

3 2

1 1

x x x x x 2

 

e tenendo presente il limite notevole

( )

α

+ −

1 x 1 α +

= , deduciamo che il secondo membro per x→0 è equivalente all’infinitesimo

lim x

+

→

x 0 1 1 5

( )

ω = ⋅ ⋅ = &sdot