Il teorema dei cerchi baciantisi

Il teorema dei cerchi baciantisi

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 14/02/2005)

Il teorema, relativamente poco conosciuto, può essere introdotto

come un problema: "Qual è il valore del raggio del cerchio tangente

internamente ad un sistema di tre cerchi tangenti fra di loro a due a

due?"

Il problema non è per niente banale, e si può risolvere con un uso massiccio della trigonometria,

correlato da una lunga serie di conti. E' quindi sbalorditivo scoprire che esiste una formula tutt'altro

che complicata che lega fra di loro i valori dei raggi (r1, r2, r3, r4). Il primo a trovarla fu

probabilmente Cartesio, nel 1643, che mostrò la relazione con una notevole formula simmetrica:

Essa può essere ulteriormente semplificata introducendo il concetto di "curvatura", definita come il

reciproco del raggio. La formula corrispondente è sorprendentemente semplice e compatta,

considerata l'apparente difficoltà del problema:

Esiste un fatto ancora più interessante relativo a questa formula: essa è un caso particolare di una

formula più generale relativa ad ipersfere n-dimensionali tangenti fra di loro. L'ordine

immediatamente superiore a quello dei cerchi è la sfera (tridimensionale). La formula

corrispondente precisa appunto la relazione fra 5 sfere tangenti l'una all'altra, ed è precisamente:

A questo punto si delinea immediatamente la generalizzazione per il caso (n-2)-dimensionale:

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