Il teorema dei cerchi baciantisi
A cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 14/02/2005)
Il teorema, relativamente poco conosciuto, può essere introdotto come un problema: “Qual è il valore del raggio del cerchio tangente internamente ad un sistema di tre cerchi tangenti fra di loro a due a due?”
Il problema non è per niente banale, e si può risolvere con un uso massiccio della trigonometria, correlato da una lunga serie di conti.
È quindi sbalorditivo scoprire che esiste una formula tutt’altro che complicata che lega fra di loro i valori dei raggi (r1, r2, r3, r4).
Il primo a trovarla fu probabilmente Cartesio, nel 1643, che mostrò la relazione con una notevole formula simmetrica:
Essa può essere ulteriormente semplificata introducendo il concetto di “curvatura”, definita come il reciproco del raggio.
La formula corrispondente è sorprendentemente semplice e compatta, considerata l’apparente difficoltà del problema:
Esiste un fatto ancora più interessante relativo a questa formula: essa è un caso particolare di una formula più generale relativa ad ipersfere n-dimensionali tangenti fra di loro.
L’ordine immediatamente superiore a quello dei cerchi è la sfera (tridimensionale).
La formula corrispondente precisa appunto la relazione fra 5 sfere tangenti l’una all’altra, ed è precisamente:
A questo punto si delinea immediatamente la generalizzazione per il caso (n-2)-dimensionale:
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