Il numero aureo ed i suoi sviluppi
Guido Carolla
Il numero aureo ed i suoi sviluppi. Perimetri, aree e serie infinite nel rettangolo, nel triangolo (aurei e non) e nel quadrato
1
Guido Carolla
Sunto. Si premettono dapprima alcune nozioni relative al numero aureo, ai suoi derivati e come si perviene ad essi anche per mezzo della successione di Fibonacci, della formula di Binet e con l’uso di un programma al computer. Il terzo paragrafo riporta due teoremi sulle progressioni e serie auree. Infine, si introducono e si dimostrano tre teoremi analoghi sui perimetri, sulle aree e serie infinite nel rettangolo, nel triangolo (aurei e non) e nel quadrato.
Abstract. At first the author premises some notions about the golden number and its derivatives, and about the way you attain them, also through Fibonacci’s sequence, Binet’s formula, and with a computer programme. The third paragraph presents two theoremas about progressions and golden series. Finally, the author demonstrates three theoremas about perimeters, areas and infinite series in rectangles, triangles and squares.
Numero, sezione, media, rettangolo e triangolo aurei
ϕ 1−ϕ
A C
B
1
fig. 1
Si premette qualche nozione relativa all’oggetto. Dalla proporzione detta aurea (v. fig. 1)
= ·
= AB AC BC
AC / AB AB / BC si ha la media geometrica, detta media aurea: , nella
= + − =
2
AB x , x x 1 0
,
AC=1, BC=1-x, si ha: che risolta permette di ottenere i
quale sostituendo
1 Piazza G. Mazzini n. 24, 73100 Lecce. Telefono 0832-317045, cell. 347-4632979; e-mail: guidocarolla@libero.it
Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme”
Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003
Il numero aureo ed i suoi sviluppi Guido CAROLLA
− −
− + 1 5
1 5 = =
= = = x 1
,
61803398
...
AB x 0
,
61803398
...
seguenti valori: e , rispet-tivamente piccoli numero aureo o sezione aurea o rapporto aureo da
ϕ = 0 ,
61803398
... AC / AB AB BC
e grandi numero aureo o sezione aurea da o , cioè
ϕ ϕ
Φ = + = Φ =
2
1 1
,
61803398
... 1 1
o anche grande rapporto aureo da .
Il rettangolo aureo è ogni rettangolo che ha le dimensioni che sono nei rapporti
=
AC / AB AB / BC .
Il triangolo aureo è un triangolo isoscele con un angolo di 36° e gli altri due di 72° ciascuno e i suoi lati stanno in rapporto aureo con la sua base.
Successione dei numeri di Fibonacci, formula di Binet e determinazione di numero e sezione aurei anche con l’uso del computer
Si richiama il significato di alcune voci e formule matematiche evidenziando che:
la SUCCESSIONE è una sequenza enumerabile aventi le componenti (termini) in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali o relativi; l’individuazione della successione dei numeri di FIBONACCI si
= = = +
1
, ;
F F F F F
ha mediante il suo legame con uno o più elementi precedenti, infatti − −
0 1 n n 1 n 2
−
n k
= ∑
F e quella di BINET
le formule per il calcolo diretto sono la binomiale
n k
≥
k 0
n n
−
+
1 1 5 1 5
+
=
F ;
n
2 2
5
la PROGRESSIONE GEOMETRICA è una successione di numeri non nulli il cui rapporto (ragione q) tra un termine e quello che lo precede è costante e il cui elemento generico si può esprimere median-
−
k h
= · q
a a ; la PROGRESSIONE AUREA è una progressione geometrica di ragio-
te la formula k h 1
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + =
1
1 , 1
,
i cui termini centrali sono (decrescente) e di ragione con i termini cen-
ne ϕ
2 Nei secoli passati per indicare la sezione aurea si usava la lettera greca “tau”, ma all’inizio del secolo XX il matematico americano Mark Barr propose, come simbolo, l’altra lettera “phi”, in omaggio al grande scultore ateniese Fidia che la ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nel costruire il Partenone di Atene.
Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme” 66
Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003
Il numero aureo ed i suoi sviluppi Guido CAROLLA
ϕ ϕ
+
, 1, 1
trali (crescente). In particolare i rapporti consecutivi dei numeri di Fibonacci permettono di determinare il numero e la sezione aurei come segue:
ϕ
→ = −
→ Φ = − = +
( 5 1
) 2 2 ( 5 1
) ( 5 1
F F F F
e .
− −
n n n n
1 1
→ ∞ → ∞
n n
Si riporta un listato in QBasic su quanto detto sopra, evidenziando che già con n=20, tanto con la successione che lega uno o più elementi precedenti (Fibonacci) che con la formula diretta di Binet si possono avere valori soddisfacentemente approssimati di ϕ e di Φ:
CLS : PRINT "NUMERI DI FIBONACCI;"
PRINT "NA=NUMERO AUREO=X1, SA=SEZIONE AUREA=VALORE ASSOLUTO X2 DELL’EQUAZ. x^2+x-1=0: X1=(-1+SQR(5))/2=.61803398...; X2=(-1)(-1-SQR(5))/2=1.61803398..."
PRINT "QUESTI SONO CALCOLATI ANCHE CON I RAPPORTI DEI N.RI DI FIBONACCI(F) E GLI
∞ ,CIOE' F(N-1)/ F(N) = B(N -
STESSI DATI DALLA FORMULA DI BINET(B) AL TENDERE DI N AD
1) / B(N) = NA E F(N)/F(N-1)=B(N)/ B(N-1)=SA."
10 DIM I: DIM F(100): DIM B(100)
INPUT "DIGITA QUANTI N.RI di FIBONACCI VUOI(per una buona approssimazione dei rapporti se ne consigliano 20 o più) "; I
F(1) = 1: F(2) = 1: F(3) = F(1) + F(2): PRINT "I N.RI DI FIBONACCI SONO:"
PRINT F(1); F(2); F(3);
FOR N = 3 TO I - 1
R = SQR(5)
B(N) = (((1 + R) / 2) ^ N + ((1 - R) / 2) ^ N) / R
F(N + 1) = F(N - 1) + F(N)
PRINT F(N + 1);
NEXT N
PRINT "NA=Numero aureo=F("; N - 2; ")/F("; N - 1; ")= "; F(N - 2) / F(N - 1)
PRINT "NA=Numero aureo=B("; N - 2; ")/B("; N - 1; ")= "; B(N - 2) / B(N - 1)
PRINT "SA=Sezione aurea=F("; N - 1; ")/F("; N - 2; ")= "; F(N - 1) / F(N - 2)
PRINT "SA=Sezione aurea=B("; N - 1; ")/B("; N - 2; ")="; B(N - 1) / B(N - 2)
PRINT "LA NOTEVOLE EQUAZIONE E' DATA DA 1+NA=1/NA, CIOE': ";
PRINT 1 + F(N - 2) / F(N - 1); "circa="; F(N - 1) / F(N - 2); "circa"; "( CON FIBONACCI)"
PRINT 1 + B(N - 2) / B(N - 1); "circa="; B(N - 1) / B(N - 2); "circa"; "( CON BINET)"
PRINT "Essendo il valore assoluto della seconda radice dell'equazione X2=(-1)*(-SQR(5)-
1)=1.61803398..."
PRINT "che è proprio la sezione aurea o rapporto aureo."
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