Metodo delle forze in forma matriciale: soluzione iperstatica con esempio pratico

Il metodo delle forze in forma matriciale: metodo operativo

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Antonio Mario DE SANTIS

Il metodo delle forze per la risoluzione delle strutture iperstatiche fu sintetizzato nel 1864 da Maxwell, poi essere ripreso da Mohr, Scotti e Muller-Breslau nel 1883.

Il problema principale per l’epoca era la soluzione del sistema di equazioni lineari, perché, non essendo ancora conosciute le macchine calcolatrici, era molto arduo arrivare alla soluzione di strutture con molte incognite iperstatiche.

Nel 1932 ebbe molto successo il metodo di H. Cross, in cui si arrivava alla soluzione per successive iterazioni.

Negli anni il metodo delle forze viene messo da parte a favore del metodo delle rigidezze, perché la scelta delle incognite iperstatiche non poteva essere facilmente automatizzata.

Introduzione

Nel seguente articolo, attraverso un esempio pratico, viene illustrato un metodo operativo per la risoluzione di strutture iperstatiche utilizzando il metodo delle forze in forma matriciale.

Partendo dall’equazione di Műller-Breslau, si perviene alla soluzione delle incognite iperstatiche, senza apparentemente esplicitare le equazioni di congruenza e utilizzando solo i coefficienti elastici fittizi delle travi appoggiate-appoggiate.

Il metodo proposto ha scopo didattico-formativo ed è rivolto ai professionisti appassionati di scienza delle costruzioni e agli studenti universitari delle facoltà di ingegneria e architettura.

In generale, nel metodo delle forze, la struttura reale originaria, volte iperstatica, viene trasformata in un sistema isostatico equivalente, caricata dai carichi originari e dalle n incognite iperstatiche (X_n).

La determinazione delle incognite iperstatiche avviene tramite le equazioni di congruenza, in altre parole tra tutte le configurazioni equilibrate si cerca l’unica congruente.

L’equazione che permette di ricavare le incognite iperstatiche è quella di Műller-Breslau, che può essere scritta in forma matriciale e, per strutture a vincoli perfetti, assume l’espressione:

[A]{X} + {π} = 0 (1)

La matrice dei coefficienti di flessibilità [A] è detta matrice dei coefficienti di flessibilità: essa è quadrata di ordine n e risulta simmetrica, per il teorema di reciprocità.

Il vettore {π} è detto termine noto e dipende dai carichi agenti.

Nel metodo delle forze, la scelta del sistema isostatico equivalente non è unico e ciò comporta una limitazione nell’automatizzare la procedura di calcolo.

Come vedremo più avanti, questa limitazione può essere superata con un’appropriata scelta del sistema isostatico equivalente.

Il metodo delle forze in forma matriciale

Considerando un generico telaio, il metodo delle forze in forma matriciale, nell’ipotesi di inestensibilità delle aste e di piccoli spostamenti, può svilupparsi attraverso i seguenti passi:

1. Si sostituisce una cerniera in ogni nodo interno o esterno del sistema reale, in modo da considerare ogni asta appoggiata-appoggiata soggetta all’azione dei carichi esterni e caricata dai momenti incogniti applicati sulle cerniere di estremità;
2. Si considera l’equazione di Muller-Breslau in forma matriciale. La riga i-esima della matrice [A] può essere calcolata sul sistema isostatico equivalente caricato dalla sola incognita assunta uguale all’unità. Il prodotto matriciale [A]{X_n} rappresenta la somma dei lavori svolti dagli sistemi fittizi, sul sistema isostatico equivalente caricato dalle sole incognite iperstatiche, di seguito denominato sistema delle incognite;
3. Viene poi calcolato il vettore dei termini noti {π}, considerando il lavoro svolto dal sistema isostatico equivalente caricato dai soli carichi iniziali, di seguito denominato sistema dei carichi n, sugli sistemi fittizi;
4. Determinata la matrice [A] ed il vettore dei termini noti {π}, si risolve il sistema con l’aiuto di un solutore di equazioni lineari e si ricavano le incognite iperstatiche (X_n).

Esempio 1. Procedimento generale

Telai con nodi in cui non concorrono più di due aste

Si determini il diagramma del momento per il telaio di fig. 1. Nell’esempio seguente, viene proposto un metodo generale che facilita la scrittura in forma matriciale del sistema (1).

Seguendo i passi descritti sopra, inseriamo due cerniere nei nodi A e B e introduciamo i relativi momenti incogniti M_A, M_B, operando riga per riga.

In modo da ripristinare il sistema statico iniziale. Il telaio in tal modo diventa una volta labile, pertanto è necessario assumere come incognita, oltre ai momenti, anche lo spostamento orizzontale u.

Fig. 1. Fig. 2. Sistema delle incognite.

Fig. 3. Primo sistema fittizio.

Fig. 4. Secondo sistema fittizio.

Fig. 5. Terzo sistema fittizio.

Convenzionalmente, i versi di M_A, M_B vengono scelti positivi in modo che tirano le fibre inferiori di ogni asta.

Questo comporta che nei nodi interni i momenti agenti sono assunti nel rispetto dell’equilibrio alla rotazione del nodo, cioè il momento di destra è uguale al momento di sinistra.

Nel caso in esame nel nodo B si ha:

M_B = M_BC = M_BA

Il verso di u viene scelto positivo in modo che avvenga da sinistra verso destra.

Il sistema delle incognite viene definito sistema delle incognite.

Le considerazioni di cui sopra portano alla determinazione del vettore delle incognite:

{X} = [M_A M_B u]^T

Calcolo della 1ª riga della matrice A

Dal sistema delle incognite si ottiene il primo sistema fittizio ponendo: vedi fig. 3.

M_A = 1; M_B = 0; u = 0

Determinata la deformata elastica del telaio, i termini della prima riga di [A] vengono ricavati, considerando il lavoro che i coefficienti elastici del primo sistema fittizio fig. 3 compiono sul sistema delle incognite fig. 2, rispettivamente nei nodi A, B e C.

Dal confronto dei due sistemi si evince che:

• Nel nodo A la rotazione lavora su M_A e il lavoro (L₁) risulta positivo perché i versi sono concordi;
• Nel nodo B la rotazione lavora su M_B e il lavoro (L₁) risulta positivo perché i versi sono concordi;
• Lo sforzo di taglio dell’asta AB lavora sullo spostamento incognito u e il lavoro (L₁) risulta negativo perché i versi sono discordi.

Nel nodo A:

L₁ = M_A · 1/(3 EI)

Nel nodo B:

L₁ = M_B · 1/(6 EI)

Calcolo della 2ª riga della matrice A

Per determinare la seconda riga di [A] dobbiamo ricavare il lavoro svolto dal secondo sistema fittizio fig. 4 sul sistema delle incognite fig. 2.

La seconda riga di [A] è costituita dalle rotazioni e dai tagli che nascono per effetto di M_B = 1, M_A = 0, u = 0, rispettivamente nei nodi A, B e C.

Tenendo conto delle considerazioni fatte in precedenza, la seconda riga di [A] si scrive:

1/(3 EI) + 1/(6 EI) + 1/L ...

1 1 1 1

[A] = [ 1/(3 EI)   1/(6 EI)   1/L ]

[A] = [ 1/(3 EI)   1/(6 EI)   1/L ]

1 1 1 1

... 0

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Docente di Costruzioni, Tecnologia delle Costruzioni e Disegno Tecnico. Collaboratore alle attività didattiche IUAV presso l’Università di Venezia.

e-mail: desantisantonio@libero.it

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