Metodo delle forze in forma matriciale: soluzione iperstatica con esempio pratico

IL METODO DELLE FORZE IN FORMA

MATRICIALE: METODO OPERATIVO

1

Antonio Mario DE SANTIS

Il metodo delle forze per la risoluzione delle strutture procedura di calcolo. Come vedremo più avanti,

iperstatiche fu sintetizzato nel 1864 da Maxwell per questa limitazione può essere superata con

poi essere ripreso da Mohr, Scotti e Muller-Breslau un’appropriata scelta del sistema isostatico

1

nel 1883. Il problema principale per l’epoca, era la equivalente.

soluzione del sistema di equazioni di lineari, perché

non essendo ancora conosciute le macchine Il metodo delle forze in forma matriciale

calcolatrici era molto arduo arrivare alla soluzione di Considerando un generico telaio, il metodo delle

strutture con molte incognite iperstatiche. Nel 1932 forze in forma matriciale nell’ipotesi di inestensibilità

ebbe molto successo il metodo di H. Cross in cui si delle aste e di piccoli spostamenti può svilupparsi

arrivava alla soluzione per successive iterazioni. attraverso i seguenti passi:

60’

Negli anni il metodo delle forze viene messo da

parte a favore del metodo delle rigidezze, perché la si sostituisce una cerniera in ogni nodo interno o

1.

scelta delle incognite iperstatiche non poteva essere esterno del sistema reale, in modo da considerare

facilmente automatizzata. ogni asta appoggiata-appoggiata soggetta all’azione

dei carichi esterni e caricata dai momenti incogniti

applicati sulle cerniere di estremità;

Introduzione

Nel seguente articolo, attraverso un esempio pratico,

viene illustrato un metodo operativo per la presa in considerazione l’equazione di Muller-

2.

risoluzione di strutture iperstatiche utilizzando il Breslau in forma matriciale, la riga i-esima della

 

metodo delle forze in forma matriciale. Partendo sistema isostatico

matrice può essere calcolata sul

A

dall’equazione di Műller-Breslau, si perviene alla equivalente X

caricato dalla sola incognita assunta

n

soluzione delle incognite iperstatiche, senza   

uguale all’unità. Il prodotto matriciale A X

apparentemente esplicitare le equazioni di n

rappresenta la somma dei lavori svolti degli sistemi

congruenza e utilizzando solo i coefficienti elastici fittizi, sul sistema isostatico equivalente caricato dalle

delle travi appoggiate-appoggiate. sole incognite iperstatiche (di seguito denominato

Il metodo proposto ha scopo didattico-formativo ed è sistema delle incognite);

rivolto ai professionisti appassionati di scienza delle

costruzioni e agli studenti universitari delle facoltà di  

viene poi calcolato il vettore dei termini noti ,

3. 

ingegneria e architettura. sistema isostatico

considerando il lavoro svolto dal

In generale, nel metodo delle forze, la struttura reale equivalente caricato dai soli carichi iniziali (di

n

originaria, volte iperstatica, viene trasformata in un sistema dei carichi) n

seguito denominato sugli

sistema isostatico equivalente, caricata dai carichi sistemi fittizi;

n incognite iperstatiche (X ).

originari e dalle La

n

n

determinazione delle incognite iperstatiche,  

determinata la matrice ed il vettore dei termini

4. A

avviene tramite le equazioni di congruenza, in altre  

noti , si risolve il sistema con l’aiuto di un



parole tra tutte le configurazioni equilibrate si cerca

l’unica congruente. L’equazione che permette di solutore di equazioni lineari e si ricavano le incognite

(X )

ricavare le incognite iperstatiche è quella di X

iperstatiche .

n n

Műller-Breslau, che può essere scritta in forma

matriciale e per strutture a vincoli perfetti, assume Procedimento generale (telai con nodi in

Esempio 1.

l’espressione: cui non concorrono più di due aste).

     (1) Si determini il diagramma del momento per il telaio



A X 0

  di fig. 1. Nell’esempio seguente, viene proposto un

  matrice dei coefficienti di flessibilità:

La è detta

A metodo generale che facilita la scrittura in forma

n

essa è quadrata di ordine e risulta simmetrica, per il (1).

matriciale del sistema Seguendo i passi descritti

teorema di reciprocità.

  termine noto

Il vettore è detto e dipende dai

 1

carichi agenti. Nel metodo delle forze, la scelta del Costruzioni, Tecnologia delle Costruzioni e Disegno

Docente di

Tecnico. Collaboratore alle attività didattiche IUAV

presso l’Università

sistema isostatico equivalente non è unico e ciò e-mail: desantisantonio@libero.it

di Venezia.

comporta una limitazione nell’automatizzare la 1

 

A B

sopra, inseriamo due cerniere nei nodi e e A

Determiniamo ora le componenti della matrice ,

introduciamo i relativi momenti incogniti in

M , M operando riga per riga.

A B

modo da ripristinare il sistema statico iniziale. Il

telaio in tal modo diventa una volta labile, pertanto è

necessario assumere come incognita oltre ai momenti

u fig. 2).

anche lo spostamento orizzontale (vedi Fig. 3. Primo sistema fittizio.

Fig.1 Fig. 4. Secondo sistema fittizio

Fig. 2. Sistema delle incognite.

Convenzionalmente, i versi di vengono

M , M

A B

scelti positivi in modo che tirano le

fibre inferiori di ogni asta. Questo

nodi interni i

comporta che nei

momenti agenti sono assunti nel rispetto

dell’equilibrio alla rotazione del nodo, cioè il

momento di destra è uguale al momento di sinistra.

B

Nel caso in esame nel nodo si ha:

M M M

 

B BC BA

u

Il verso di viene scelto positivo in modo che

fig.2

avvenga da sinistra verso destra. Il sistema di

sistema delle incognite.

viene definito Fig. 5. Terzo sistema fittizio

Le considerazioni di cui sopra portano alla

determinazione del vettore delle incognite: a   .

Calcolo della 1 riga della matrice A

M

 

A Dal sistema delle incognite si ottiene il primo sistema

   

  fig. 3.

fittizio ponendo: vedi

M 1

; M 0 ; u 0

  

A B

   

X M

 B Determinata la deformata elastica del telaio, i termini

 

 

u

 

  2

   

La prima riga di è costituita dalle rotazioni e dai

della prima riga di vengono ricavati, considerando

A A

2 primo sistema tagli che nascono per effetto di

il lavoro che i coefficienti elastici del  

fittizio fig. 3, sistema delle incognite

di compiono sul rispettivamente nei nodi A, B

M 1

; M 0 ; u 0

  

A B

fig. 2,

di dal confronto dei due sistemi si evince che: C.

e

L M

A

- nel nodo la rotazione lavora su e il

1 A a  

3 EI .

Calcolo della 2 riga della matrice A

1  

L Per determinare la seconda riga di dobbiamo

lavoro ( ) risulta positivo perché i versi sono A

1

M 

A 3 EI secondo sistema fittizio

ricavare il lavoro svolto dal

1

concordi; fig.4 sistema delle incognite fig.2; La

di sul di

 

L seconda riga di è costituita dalle rotazioni e dai

M A

B

- nel nodo la rotazione lavora su e il

1 B

6 EI tagli che nascono per effetto di

1  

L rispettivamente nei nodi A,

M 0 ; M 1

; u 0

  

lavoro ( ) risulta positivo perché i versi sono

1

M  A B

B 6 EI B e C.

1

concordi; Tenendo conto delle considerazioni fatte in

 

1 precedenza la seconda riga di , si scrive:

A

AB,

- lo sforzo di taglio dell’asta lavora sullo

L

1 1 L L 1

 

u u)

spostamento incognito e il lavoro (- risulta M ...

   

1 1 A

   

L  

3 EI 6 EI L

1 1 1 1

     

negativo perché i versi sono discordi.  

L L L 1    

1 1 2 M ... 0

   

In realtà, il lavoro è positivo perché svolto dalla      