Il concetto di funzione

Concetto di funzione

Per arrivare alle definizioni insiemistiche ci serviamo di alcuni esempi:

1°: Quando si fa rifornimento di benzina, il prezzo pagato è funzione della quantità di carburante acquistato. Se “l” è il numero di litri acquistati, “p” il prezzo unitario per litro, il costo totale “c” è dato da c = p·l - relazione di proporzionalità diretta.

2°: Se un gas racchiuso in un contenitore è mantenuto a temperatura costante, la legge di Boyle mette in relazione il volume V del contenitore e la pressione “p” del gas.

p = K/V. In questo caso la pressione è funzione del volume - relazione di proporzionalità inversa.

3°: L'acquisto dei dischetti per il computer; il costo unitario dei dischetti “c” è funzione del numero di dischetti acquistati: maggiore è il numero di dischetti acquistati e minore è il prezzo unitario di questi dischetti.

Numero dischetti - prezzo unitario

• Da 1 a 10 - 680
• Da 11 a 50 - 650
• Da 51 a 200 - 630
• Più di 200 - 600

Il prezzo unitario è il “frutto” del numero di dischetti acquistati. Su questo caso è più difficile scrivere una formula matematica semplice che collega la quantità netta e il numero di dischetti. La legge che lega il numero al prezzo è rappresentata da una tabella e non da una formula.

Ogni cittadino italiano è dotato di un codice fiscale, una sequenza di 16 lettere e cifre che sono funzione dei dati anagrafici del cittadino. La legge non è descrivibile con una formula, ma c'è una tabella, una sequenza di istruzioni. Le funzioni legge il singolo cittadino con la sequenza di lettere e cifre. In questo caso non usano né formule, né tabelle, utilizziamo una sequenza di istruzioni del tipo: le prime tre lettere sono dedicate al cognome, le successive ... del comune, il ??? del nome, ecc.

Abbiamo pertanto una funzione scrivibile come sequenza di istruzioni.

La caratteristica comune in questi quattro esempi, è che si può dire che una funzione è una regola che permette, fissato un dato di ingresso, di determinare in modo univoco un risultato in uscita. Per parlare di funzione abbiamo bisogno di un dato di ingresso, una quantità assegnata (es. battuta).

Queste regole (le funzioni) agiscono su questo dato (le entrate) e forniscono un risultato in uscita (costo) - Queste regole devono permettermi, fissato il dato in entrata, di determinare un risultato in modo univoco. Non può creare delle ambiguità -

Es. Se prendiamo un tkt: i maschi sposati e costruiamo le corrispondenze che ad ogni persona associa la moglie, in famiglie, ma nei posti dove c'è poligamia, queste relazioni non è una funzione -

Altre cose importanti nella funzione è che bisogna specificare anche l'insieme in cui ha senso parlare, i dati: l'insieme di partenza e quello a cui appartiene il risultato: l'insieme d'arrivo.

Quindi la funzione è una legge univoca che a partire da un dato assunto nell'insieme di partenza, mi permette di ottenere un risultato che sarà un elemento dell'insieme d'arrivo.

Concetto di analogo in una funzione

Tutte le informazioni su una funzione sono contenute nel suo grafico. Analizziamo gli esempi citati in precedenza.

1° Caso: funzione delle quantità di carburante acquistato c = p·x.

Funzioniamo un numero reale che esprime i litri ed il costo lo esprimiamo come reale -

Descrivo queste funzioni di costo che l'insieme di partenza e l'insieme dei numeri reali e quello d'arrivo ... e costruiamo il prodotto cartesiano fra l'insieme di partenza e quello d'arrivo.

Per ogni punto A individuato ho come coordinate il valore x fissato ed il corrispondente costo. Questo punto mi dà una coppia ordinata in cui ad ogni valore di x corrisponde un costo.

Dato x₁ collega il risultato c₁, posso, quindi, prendere degli altri dati considerando tutti i possibili numeri reali positivi, individuando così una funzione del prodotto cartesiano dei numeri: il grafico della funzione.

P - pressione.

P = K/V.

Volume.

Tramite questi grafici possiamo dire di avere una informazione di tipo qualitativo sulle funzioni (rette, iperboli, ecc.).

In via generale si può esprimere che:

Sia (x, y) un generico elemento del grafico della funzione f. L'insieme delle componenti x è il dominio della funzione; l'insieme delle componenti y è l'immagine della funzione.

Per introdurre meglio il concetto di dominio e immagine si ricorda ad esempio il caso in cui è vero che l'insieme di partenza è N, come anche quello d'arrivo, ma nell'insieme d'arrivo non sono considerati tutti i numeri naturali ma solo quattro numeri, ovvero i punti vettori 600, 630, 650, 680.

Quindi si considereranno tutti gli elementi del grafico della funzione, espressi come coppie ordinate, così che il dominio è l'insieme di tutte le prime componenti ed è l'immagine di tutte le seconde.

Complementi

Nell'esempio n. 3 abbiamo che il dominio è N\{0}.

L'immagine è {60, 63, 65, 68} -

(x,y) appartenere al grafico di f - Tutte le componenti x costituiscono il dominio che indico con dom f. Le seconde componenti y costituiscono l'immagine che indico con im f.

A questo punto si può dare la definizione di funzione partendo dal concetto di grafico. Si chiama così, cioè, la funzione col suo grafico.

Si dice funzione f: X -> Y (X insieme di partenza, Y insieme d'arrivo) un sottoinsieme non vuoto del prodotto cartesiano X x Y tali che se due coppie (x,y') e (x,y'') appartengono ad f, si ha y'=y''.

1^o es. Questo 1^o es. è il grafico di una funzione - si nota la caratteristica di unicità.

2^o es. Questo 2^o es. non è il grafico di una funzione perché viene meno la caratteristica di unicità - x mi individua due punti.

f è definita come una relazione tra due insiemi dati di partenza. Ci dice che se due coppie sono nella sottoinsieme, le proiezioni nel 2^o insieme devono necessariamente avere la stessa seconda componente. Altrimenti non è una funzione. Nessuna:

y (insieme d'arrivo)

(sottoinsieme non vuoto)

x (insieme di partenza)

Si identifica un sottoinsieme non vuoto con le caratteristiche di un insieme ove non possono esistere coppie in cui un elemento dell'insieme di partenza esistano più elementi dell'insieme d'arrivo. Al proposito, un dato deve essere un unico risultato.

Questo sottoinsieme è la funzione. In questo sottoinsieme possiamo prendere l'insieme di tutte le prime componenti ed il sottoinsieme delle immagini di partenza. La definiamo dominio (dom f). Allo stesso modo possiamo prendere l'insieme di tutte le seconde componenti del sottoinsieme dell'insieme.

L'insieme così definito si chiama.

Immagine della funzione (Imf).

Questo insieme detto si può rappresentare C.S.

Immagine.

Dominio.

Alcune notazioni per le funzioni

f = {(x,y): x dom f e y = f(x)}.

f: x -> f(x), x dom f.

y = f(x), x dom f.

f(x), x dom f.

x è la variabile indipendente.

y è la variabile dipendente.

Una funzione è detta reale di variabile reale.

Se il suo insieme di partenza ed il suo insieme d'arrivo coincidono con R.

Un sottoinsieme A di R² è il grafico di una funzione se ogni parallela all'asse delle ordinate lo interseca al più in un punto.

Il grafico di una retta è il grafico di una funzione.

y = x² è il grafico di una funzione.

x = y² parabola - non rappresenta il grafico di una funzione.

In R², dunque, è molto semplice geometricamente capire quando abbiamo il grafico di una funzione oppure no.