Il coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale

A cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 06/07/2007)

Pubblicato su Matematicamente.it Magazine n. 3, luglio 2007

Supponete di avere davanti a voi 7 palline di colori diversi, da cui ne dovete scegliere 3 a vostro piacimento. In quanti modi diversi potete fare la scelta? Rifletteteci un attimo e vi accorgerete che la risposta non è facile: probabilmente avrete bisogno di qualche minuto di concentrazione e di un bel po’ di carta prima di individuare tutte le 35 possibilità che si presentano. E per giunta, come si accorgerebbe subito un bambino, la risposta non è 7·3 e neppure 7+3, ma un terribile 7·5 che diventa difficile da giustificare a partire dai dati di partenza anche impiegando parecchia fantasia...!

Il problema appena enunciato è uno dei più classici di quella disciplina che viene chiamata calcolo combinatorio. Essa si occupa di “contare” in quanti modi diversi si possano combinare fra loro, in modo ordinato oppure no, elementi di un qualche insieme prestabilito. Altri esempi di problemi di tipo combinatorio sono i seguenti: Quanti sono gli anagrammi diversi della parola ‘MAMMA’? E della parola ‘AMMANETTARE’? Quanti risultati diversi si possono ottenere dal lancio contemporaneo di 10 monete? Quante possibilità ci sono nell’estrarre ordinatamente 7 palline da un’urna che ne contiene in tutto 30, di cui 15 rosse, 10 verdi e 5 blu? E ancora: in quanti modi diversi si possono classificare i 50 concorrenti che partecipano ad una corsa podistica?

L’unico modo per affrontare problemi del genere con una certa serenità (vi assicuro che con problemi di una certa dimensione dimenticare qualche caso sarebbe estremamente facile) consiste nel cercare di ricondursi a una serie ben definita di problemi astratti, formalizzati appunto nel calcolo combinatorio. Una delle applicazioni più interessanti di questa disciplina è legata al calcolo delle probabilità, in cui come ben noto bisogna letteralmente “contare” i casi favorevoli e farne il rapporto con tutti quelli possibili, in modo da ottenere un’indicazione della probabilità che l’evento considerato ha di verificarsi oppure no. Vedremo più avanti un’applicazione di questo genere al gioco del Lotto, attorno al quale due volte alla settimana girano parecchi soldi.

Il coefficiente binomiale

Per saggiare le potenzialità del calcolo combinatorio ci occuperemo ora di descrivere una delle sue più basilari (ma non banali) entità: il coefficiente binomiale. Grazie a questo importante concetto matematico ci scopriremo immediatamente in grado non solo di risolvere il problema presentato in partenza, ma anche di affrontare una ampia classe di problemi combinatorici simili ad esso…

Vedremo come con questo nuovo strumento calcolare la probabilità di fare un ambo al lotto diventi davvero un gioco da ragazzi. E poi… in un batter d’occhio si sveleranno davanti a noi tutta una serie di proprietà notevoli del coefficiente binomiale, a partire da considerazioni puramente intuitive che faremo sulla lista ordinata di tutti i coefficienti binomiali. Scopriremo in particolare come da essa si generi quella meravigliosa struttura che è il Triangolo di Tartaglia, fonte inesauribile di curiosità numeriche. Per iniziare, però, non possiamo che partire dalla base di tutto quello che abbiamo anticipato: la definizione del concetto di combinazione.

Chiamiamo “combinazione di n elementi a gruppi di k” un sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme che ne contiene n. Consideriamo diversi due raggruppamenti solo se presentano almeno un elemento differente: non distinguiamo cioè gruppi che contengono gli stessi elementi ordinati in maniera differente.

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Flavio Cimolin – Il coefficiente binomiale

La versione formale del problema con cui abbiamo esordito diventa quindi la seguente: quante sono le possibili combinazioni di 7 palline a gruppi di 3 ciascuna?

Per avere almeno un’idea di come si ricavi la formula che fornisce il risultato, che vedremo a breve, cerchiamo prima di risolvere due problemi più semplici che ci consentiranno di dedurla in maniera assolutamente lineare. Essi coinvolgono altre due entità del calcolo combinatorio, le permutazioni e le disposizioni, che si distinguono dalle combinazioni perché in esse l’ordine con cui vengono elencati gli elementi del sottoinsieme scelto è importante, mentre nelle combinazioni no.

Non lasciatevi spaventare: si tratta solo di nomi assegnati a concetti decisamente semplici, che servono a definire nel modo più generale possibile i ragionamenti di base del calcolo combinatorio: non c’è nascosto nulla di difficile. Chiamiamo “permutazioni di n elementi” tutti i modi possibili di elencare gli n elementi di un insieme.