Il coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale

a cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 06/07/2007)

Pubblicato su Matematicamente.it Magazine n.3, Luglio 2007

S

upponete di avere davanti a voi 7 palline di colori diversi, da cui ne dovete scegliere 3 a vostro

piacimento. In quanti modi diversi potete fare la scelta? Rifletteteci un attimo e vi accorgerete che

la risposta non è facile: probabilmente avrete bisogno di qualche minuto di concentrazione e di un

bel po’ di carta prima di individuare tutte le 35 possibilità che si presentano. E per giunta, come si

accorgerebbe subito un bambino, la risposta non è 7·3 e neppure 7+3, ma un terribile 7·5 che

diventa difficile da giustificare a partire dai dati di partenza anche impiegando parecchia fantasia...!

Il problema appena enunciato è uno dei più classici di quella disciplina che viene chiamata

calcolo combinatorio. Essa si occupa di “contare” in quanti modi diversi si possano combinare fra

loro, in modo ordinato oppure no, elementi di un qualche insieme prestabilito. Altri esempi di

problemi di tipo combinatorio sono i seguenti: Quanti sono gli anagrammi diversi della parola

‘MAMMA’? E della parola ‘AMMANETTARE’? Quanti risultati diversi si possono ottenere dal

lancio contemporaneo di 10 monete? Quante possibilità ci sono nell’estrarre ordinatamente 7 palline

da un’urna che ne contiene in tutto 30, di cui 15 rosse, 10 verdi e 5 blu? E ancora: in quanti modi

diversi si possono classificare i 50 concorrenti che partecipano ad una corsa podistica?

L’unico modo per affrontare problemi del genere con una certa serenità (vi assicuro che con

problemi di una certa dimensione dimenticare qualche caso sarebbe estremamente facile) consiste

nel cercare di ricondursi a una serie ben definita di problemi astratti, formalizzati appunto nel

calcolo combinatorio. Una delle applicazioni più interessanti di questa disciplina è legata al calcolo

delle probabilità, in cui come ben noto bisogna letteralmente “contare” i casi favorevoli e farne il

rapporto con tutti quelli possibili, in modo da ottenere un’indicazione della probabilità che l’evento

considerato ha di verificarsi oppure no. Vedremo più avanti un’applicazione di questo genere al

gioco del Lotto, attorno al quale due volte alla settimana girano parecchi soldi.

P

er saggiare le potenzialità del calcolo combinatorio ci occuperemo ora di descrivere una delle sue

più basilari (ma non banali) entità: il coefficiente binomiale. Grazie a questo importante concetto

matematico ci scopriremo immediatamente in grado non solo di risolvere il problema presentato in

partenza, ma anche di affrontare una ampia classe di problemi combinatorici simili ad esso…

Vedremo come con questo nuovo strumento calcolare la probabilità di fare un ambo al lotto diventi

davvero un gioco da ragazzi. E poi… in un batter d’occhio si sveleranno davanti a noi tutta una

serie di proprietà notevoli del coefficiente binomiale, a partire da considerazioni puramente intuitive

che faremo sulla lista ordinata di tutti i coefficienti binomiali. Scopriremo in particolare come da

essa si generi quella meravigliosa struttura che è il Triangolo di Tartaglia, fonte inesauribile di

curiosità numeriche. Per iniziare, però, non possiamo che partire dalla base di tutto quello che

abbiamo anticipato: la definizione del concetto di combinazione.

C hiamiamo “combinazione di n elementi a gruppi di k” un sottoinsieme di k oggetti estratti da un

insieme che ne contiene n. Consideriamo diversi due raggruppamenti solo se presentano almeno un

elemento differente: non distinguiamo cioè gruppi che contengono gli stessi elementi ordinati in

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maniera differente. La versione formale del problema con cui abbiamo esordito diventa quindi la

seguente: quante sono le possibili combinazioni di 7 palline a gruppi di 3 ciascuna?

Per avere almeno un’idea di come si ricavi la formula che fornisce il risultato, che vedremo a

breve, cerchiamo prima di risolvere due problemi più semplici che ci consentiranno di dedurla in

maniera assolutamente lineare. Essi coinvolgono altre due entità del calcolo combinatorio, le

permutazioni e le disposizioni, che si distinguono dalle combinazioni perché in esse l’ordine con cui

vengono elencati gli elementi del sottoinsieme scelto è importante, mentre nelle combinazioni no.

Non lasciatevi spaventare: si tratta solo di nomi assegnati a concetti decisamente semplici, che

servono a definire nel modo più generale possibile i ragionamenti di base del calcolo combinatorio:

non c’è nascosto nulla di difficile. Chiamiamo “permutazioni di n elementi” tutti i modi possibili di

elencare gli n elementi di un insieme. Il calcolo del numero di permutazioni di n oggetti è

decisamente semplice: al primo posto ci può essere infatti uno qualsiasi degli n oggetti, al secondo