Idraulica - Appunto 32

Moto vario nelle correnti a pelo libero

Equazione di Saint Venant

L'equazione del moto in generale è data da:

dH/dS + 1/g (dU/dt) + U/g (dU/dS) = (g/c) S₀ - g (R_H) (Q²/Ω²) * (1/(c² g R_H))

B = Perimetro bagnato

R_H = Raggio idraulico

L'equazione di continuità per una corrente in generale si scrive:

d(ρQ)/dS + d(ρΩ)/dt = 0

Una semplificazione che si può introdurre nello studio del moto vario nelle correnti a pelo libero è quella di considerare ρ = cost. Vediamo ora di modificare un po' l'equazione del moto e si arriva ad un'equazione che prende il nome di equazione di Saint Venant.

L'equazione del moto in generale è data da:

ΔH/ΔS = - (1/g)(Δu/Δt + uΔu/ΔS)Q²/(Ωc²gR_i)

B_L = Perimetro bagnato

R_i = Raggio idraulico

L'equazione di continuità per una corrente in generale ci viene data da:

Δ(ρQ)/ΔS + Δ(ρq_N)/Δt = 0

ρQ + ρq_N = 0 ⇒ Δρ/ΔS = Δρ/Δt = 0

Se il carico totale è H, si ha cioè:

H = p_a + ^U2/_2g per una corrente a getto libero che mantenga queste caratteristiche.

Il carico piezometrico è dato da p_a= z_g + y = Quota del pelo libero rispetto all'orizzontale scelto.

Avrà cioè: H = p_a + ^U2/_2g = z_g + y + ^U2/_2g

Dunque la prima equazione, quella del moto, può essere scritta come segue:

^∂H/_∂s = ∂/(∂s)z_g + ∂/∂y + ^2U/_2g∂s - ¹/_g^∂U/_∂t (esplicitazione dell'equazione del moto)

- Si moltiplica per entrambi i membri dell'equazione del moto e per entrambi i membri dell'equazione di continuità:

∂/∂s = z_g = −ñ_f

In questo momento non si sta facendo alcuna ipotesi che l'alveo sia delimitato, per cui z è variabile in funzione dell'asse x. Se (î) è positiva, se l'alveo è deslive può essere negativo, ecc.

Dunque si ha cioè:

{Ωi_g + ∂/∂sQ^∂U/_g∂s + Ω∂U/∂t + l_f = 0 (equazione del moto)

U∂Ω/∂s + UΩ = 0 (equazione di continuità)

Essendo i due membri entrambi uguali a zero, si possono sommare membro a membro e quindi in certo ordine inverso. Quantità uguale a zero si ottiene:

\[\frac{\partial \Omega}{\partial t} (j-i_2) + g \Omega \frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial}{\partial s} \left(\frac{Q^2}{\Omega}\right) + \frac{\partial Q}{\partial t} - 0 =\]

Nota bene

1. \[\frac{\partial QU}{\partial s} + \frac{\partial Q}{\partial s}\] è la derivata rispetto ad S del prodotto QU, ossia \[\frac{\partial (QU)}{\partial s} = Q \frac{\partial U}{\partial s} + U \frac{\partial Q}{\partial s}\], ma \[QU = \frac{Q^2}{\Omega}\], \(\Rightarrow \frac{\partial QU}{\partial s} = Q \frac{\partial U}{\partial s} + U \frac{\partial Q}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s} \left(\frac{Q^2}{\Omega}\right)\) con \(\Omega = cost\).
2. Poi si pone \[\frac{U \partial \Omega}{\partial t} - \Omega \frac{\partial U}{\partial t} \equiv \text{che è} \equiv \frac{\partial}{\partial t} (U \cdot \Omega) = \frac{\partial Q}{\partial t}\], ma \(U \Omega = Q\), per cui \(\Rightarrow\) \(\frac{U \Omega}{\partial t} + \Omega \frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (U \cdot \Omega) = \frac{\partial Q}{\partial t}\)

Sostituiamo le equazioni che si sono introdotte:

\[\frac{\partial Q}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{Q^2}{\Omega}\right) + g \Omega \frac{\partial y}{\partial s} - g \Omega (i_2-j) \rightarrow \text{equazione di Saint Venant}\]

mentre l'equazione di continuità non cambia e rimane:

\[\frac{\partial Q}{\partial s} + \frac{\partial \Omega}{\partial t} = 0\]

Sì, abbiamo due equazioni alle derivate parziali; dobbiamo fare mente locale su quali sono le variabili di stato, le variabili considerate: la variabile indipendente è la quota dello 0: è legata a quest’ultima (la forma della sezione perversa non costante ma può essere assegnata in ogni senso). Fin dall'esame geometrico le variabili indipendenti non possono essere più di due poiché è chiaro che la quantità è nota.

La sigla σ si riguarda la tendenza a ciclo dalle alesse, mentre la quantità j si considera esprimibile in termini di variabili che li state come j = _Q²/Ω²C²gR¹ con Q ed Ω variab. lì di stato dipendenti le xi sono setti c’è moto perché sono note le condizioni di calibrezza dell’altra sezione per sezione e dipende dal reggto sodlezzo reaggo ideali ce il reaggo diedelicà i gol lo stesso reazione mento fatto per la yi una volta che.

Rezione per sezioni è conosci la forma della sezione normale dell’alesse si può immaginare che anitente un elegante note per cui tutto il tema in que leggere come seltto. In generale non j sono inmodote approssimazioni: già è sole modificato di gioco lo quindi l’equazione del moto e dell’equazione di continuità che si possono trovare annele in forma leggermente diverse:

Ad esempio si utile adottare variabili di stato un po' diverse mantenendo la giunta Q ed introducendo il varitti piexmanetrico e per questo quinto sanelle stelo imporunno fare la ex mangrazione di h in 2_z+y si comprirebbe e rimarelette (D_ALOSS) il rimorsalto il eccione compore ore il oslate: è chiaro che sali equazioni comtù daremo mai con la fenomeno di risalto idraulico (però è noto che in questo caso si cade lo schema di corrente, però in moltissime condizioni il moto vario all'interno di una corrente a pelo libero non comporta lo risalto idraulico (ma non è escluso).

Tipi di moto vario e applicazioni

Vediamo quali sono i possibili moti vari di una corrente a pelo libero: Lo studio di queste equazioni in realtà viene condotto per via numerica e due equazioni sopra sono quelle che effettivamente si utilizzano per studiare vari tipi di moto vario in particolare vengono utilizzate per lo studio della propagazione delle onde di piena e vengono integrate per via numerica.

Tale integrazione numerica è condizionata oltre che dalle caratteristiche delle equazioni stesse da tanti altri elementi quali la conoscenza delle caratteristiche dell'alveo.

I tipi di moto vario che si possono avere in una corrente a pelo libero sono molteplici, il più importante è certamente il moto vario costituito dalla propagazione di un'onda di piena. Si ricordi che non è l'unico tipo di moto vario possibile.

In Italia si è sviluppata una forte produzione di energia elettrica a partire dall'energia meccanica dell'acqua con particolare riferimento corsi d'acqua montani (poiché bigliati dalla sezione di invaso, etc. In realtà questi non erano corsi d'acqua marginali e sono tutt'ora rari in Italia, il caso in cui i corsi d'acqua marginali sono interessati da sbarramenti (in due aree in soli).

Gli sbarramenti sono costruiti in modo da mantenere il già nel marginale quando realizza una manovra in corrispondenza dell'ogni di cumina, normalmente si usa un onda da verso valle da verso monte l'onda che consente e queste onde interferiscono molto sulla navigabilità del corso d’acqua, quindi per certi canali è importante studiare fenomeni di motoscafo che introducono dei fenomeni ondosi veri e propri e che in realtà non sono affatto onde di piena.

Fenomeno dello stazionamento e onda di piena

Un fenomeno simile si realizza negli impianti idroelettrici: Lo stazionamento prevede che balline fino al pozzo piezometrico (la piezometrica) sono immise in cammelli o alle distanza (ζ oppure); quando si effettua una manovra di chiusura si ha il solito colpo d’ariete nella condotta finale però nella vasca di oscillazione arriva una certa quantità che fa aumentare la quota del pelo libero e questo fa sì che i c e vicino della mato all’interno dei canali. Non faremo in nessun modo riferimenti alla semplificazione delle equazioni per questo tipo di moto vario.

Un’onda di piena è caratterizzata dal fatto che ha dimensioni spaziali molto lunghe, le portate variano all’interno del corso d’acqua e di 100 a 1000 Km quindi sono onde molto lunghe ed ovviamente anche la variabilità nel tempo è altrettanto è tanta più alcune che adottiamo a collettivi

In sostanza si fa l'ipotesi che l'onda sia lunga, sia lenta e che l'alveo sia prismatico. In caso di piena la quota del pelo libero varia su uno spazio molto lungo e inoltre l'onda di piena si propaga anche nel tempo e variazioni sono abbastanza modeste.

Tutte queste osservazioni sulla larghezza e lunghezza dell'onda di piena servono per introdurre delle semplificazioni che riguardano fondamentalmente l'equazione del moto, che è l'equazione più complessa, non lineare, e quindi è quella che dà già problemi. Infante il fatto che l'onda di piena è molto lunga e molto lenta ci può aiutare per non trascurare le variazioni nel tempo del coefficiente di moto e le loro combinazioni nel tempo che hanno lo stesso ordine di grandezza e tutto sommato abbastanza trascurabili nel senso che il primo membro dell'equazione di Saint Venant sia così piccolo che alla fine si può ricondurre a dire che nel caso di un'onda di piena localmente lo sia sempre uguale alla pendenza del fondo.

In sostanza, tanto per non mascherare troppo le cose si fa l'ipotesi che fondamentalmente ed istantaneamente il moto si possa considerare uniforme. Questo quindi è del tutto surrogatorio se si considerato il fatto che l'estensione dell'onda è molto lontana dalla zona di definire a distanza di chilometri, e quindi se intorno al margine di considerare un retto tratto.

In quest'ottica la parte dei calari è in qui viene la cosa come reperibilità e ci sono se facciamo l'ipotesi che l'equazione del moto possa essere sostituita dall'equazione del moto uniforme:

N.B. gΩ(ḡz-j_z)=0 => ḡz=j_z

L'equazione del moto uniforme è data da:

Q = cΛΩ√_gḡj_z

L'equazione del moto uniforme può essere approssimata con un'equazione di tipo monomio. Le grande il nome di xalo di degluse la quale collega le variabili di stato globale, Q, alle variabili di stato sezione, ossia:

Q = cΛΩ√_gḡj_z = cΛΩ^mm ≅ 3 ÷ 5 (a seconda che la sezione sia più larga o più compatta m ≅> 3 1/2 di 3 ÷ 2 e dipende dalla caratteristiche dell'alveo.

Ricavate l'equazione di Saint Venant fatta l'ipotesi che alla fine (ḡz-j_z) nel il moto, si possa considerare uniforme, trascurando tutte le variazioni nel tempo e nello spazio e scrivendo l'equazione del moto uniforme nelle forma approssimata di xalo di degluse. Ci troviamo ad avere l'eq. del moto e quello di continuità, scritto sotto la forma di xalo di degluso:

∂_tQ + ∂_s((x²)gΩj_z) = 0

Tutte queste variazioni si trascurano nel tempo e nello spazio rispetto a gΩ(ḡz-j_z). Nell'equazione di continuità si hanno ancora variazioni nello spazio e nel tempo, però a xeno di numero si ha uno zero, e quindi non possiamo trascurare rispetto a questo per cui l'equazione di continuità deve essere mantenuto in quella forma.

In sostanza si arriviamo ad avere Q = 2 Ω^m{∂Q ∂Ω∂S ∂t = 0

Vediamo ora a cosa ricavare un coefficiente ottimale per lo studio dell'onda di piena. Il precedente sistema è l’approssimazione più rozza possibile che si può utilizzare per studiare la propagazione di un’onda di piena. Le caratteristiche della propagazione dell’onda di piena, cominciamo per ripetere così: Con-da di piena si propaga nel tempo lungo il corso d’acqua, per cui uno degli elementi fondamentali del nostro fenomeno è costituito proprio dalla velocità di propagazione dell’onda di piena.

Sia C il valore della velocità con cui si propaga il volume della portata e vediamo come si può scrivere:

C = Celrità = Velocità con cui si propaga il volume della portata Q lungo l’ascisse della S

Sia C la celerità allora si può scrivere una relazione che rappresenta la derivata sostanziale della portata fatta rispetto al tempo nella seguente forma:

∂Q - ∂Q∂t ≠ ∂Q + c∂Q = 0

Derivata sostanziale Derivata parziale

∂Q∂t = 0 se si vuole seguire nel tempo un volume fissato della portata

Quindi quello che a noi interessa è vedere se essendo valida la relazione la per ciascun valore della portata la derivata parziale rispetto al tempo di Q, ripete le modifiche la derivata parziale di Q rispetto ad S, si può determinare il valore della celerità C. Ripartiamo dalle equazione di continuità e vediamo come può essere scritta.

Ricordo Q risulta una funzione dello spazio e del tempo, avremo che:

∂Q∂S ∂Ω ∂Ω────── = ──── + ────_∂t^∂t ∂S ∂t

In maniera analoga a quelle

∂Q∂t ∂Ω ∂Ω────── = ──── + ────_∂t^∂t ∂S ∂t

Tutto questo nelle. Abbiamo fatto l'ipotesi che Q sia legata attraverso l'equazione monomia Q = ω Ω^m ad Ω

Allora, andiamo a sostituire (∂Ω/∂t) l'espressione che possiamo ricavare

∂Ω∂t = ─────₁^Ω ∂Q──── diffusione nell'equazione di continuità ed otteniamo

∂Q∂S ∂Q ₁^Ω 0 ────────── + ─────── + = ──── + ────_∂S^∂S ∂t ∂t ∂S

Se si confronta quest’ultima espressione con quella dello srivato sostanziale che è introdotto. La derività (e) della variadelle portate Q qualunque esso sia (moltevolmente non è detto che la velocità di propagazione sia la stessa per qualunque valore della portata, perciò la precedente relazione valg per qualunque valore della portata mentre si riferisce invece che la velocità di propagazione dell'onda di piene e altro non è che la derivata della portata fatta rispetto alla sezione; tale derivata si può calcolare molto facilmente sostituendo dQ

∂Q ∂Q _∂Q ⎨⎬ 0 in DQ = ω ΔQ, si ottiene────── + ───── =_∂t ∂t _∂S ΔS

le cui si ricava che C = mQ Velocità media dello essendo omega Q -> Q - Q

Quindi con uno schema essenzialmente in cui è mantenute solo l’equazione di continuità delle forma del moto vario, ma tutto il resto è stato trascurato (sono stati messi in conto solo gli agenti dominatori) si è ottenuto un’espressione molto ben verificata ed attendibile delle velocità di propag linee dell’onda in piena [vole velocità di propagazione nell'inuda è diversa dalla velocità media con cui si propaga la onda della piena OSS. Se quella in figura è l’andamento del valore del portata lungo S in un certo istante t₁, si trova che maggiore è il valore della portata allora maggiore è la sua velocità media U e conseguentemente maggiore è la sua velocità di propagazione per cui normalmente si dice che il colmodelle piena si prosegue più rapidamente sia del suo fronte sia della sua coda; quindi è fondata affermazione dell’onda di piena.

Questa indicazione però in realtà non è molto attendibile perché se il fronte di piena è già molto lunga e a questo punto non è tanto attendib che utilizzare che la pendenza dell’onda rimetti comunque il è giusto cioè è vero finché rimane costante il valore di (la velocità è la pendenza dell’onda). Quindi in realtà quello che succede in pratica è proprio il contrario non è vero che “la affermane dell'onda di piena tende ad infiniti... come landere...

L'accione napo esteso del risultato ottenuto: introduzione dell'onda di piena e tutto. Gi grosso pkil è l'onda di pie ma tende ad quantità per chinfinitio (e andiando diminuire, cambia la gamma della pressione ecc.) Te modello cinematico (forse non è introduttorio che ogni cinematici) della propa- gazione dell'onda di piena e in grado di fornire fondaoces talmente il valore della velocità di propagazione dell'onde H.B.

Avremo anche DQ DF DD SS DS DS SS rispetto al tempo per cui la relazione che x è introdotta è l'ici seve per dove prossimo mitato (alees generola) te teniamo conto che d ed m dipendono da S. Se ed m sono costanti allora ci deve è piùrementit; a se è riquone che d ed m non diano costanti d' ha ile. Q. -m Ω e c'è costante se m è constante.

Osservazioni

Ma avessimo che Q è ed m —› Q ed m una priala m ➔ 1 Q è una funzione versopre che ild ed l'rena funzione veredmibile Q. Quindi preicas ê ha C - mU è l'ilae ro che quando Qi è più grande U è più grande => Q è più grande e quando seccono le portature più grande el colnone. Questu integra giù iacotcementi della che l'eione.el il exomere cher divieduziale della forma del richile.

Alveo delle rive fluviali

• Restrigimento y_a y₂
• Allargamento y_a y_yest
• Restrigimento y_a **±** y₂
• Allargamento y_w y y_a y_u