Idraulica - Appunto 24

Equazioni del colpo d'ariete

^∂H/_∂S + ¹/_g ∂U/∂t = 0

^∂U/_∂S + ^g/_a² ∂H/∂t = 0

¹/_a² = ^ρ/_Ε + ¹/_Ε

Ricordiamo le ipotesi sotto cui si sono derivate le precedenti equazioni, sono ipotesi che comportano la trascurabilità degli effetti dissipativi ed in particolare data una grandezza G = G(S, t), si può dire che la velocità media del fluido per la derivata della grandezza G rispetto allo spazio è molto minore della derivata della grandezza G fatto rispetto al tempo: G = G(S, t) ∣∂G/∂S∣ ≪ ∣∂G/∂t∣

Questa è l'ipotesi fondamentale cui ci copanium, un effetto molto minore per quanto riguarda la possibilità di esprimere il secondo termine dell'equazione di continuità.

A questo punto ci hanno due equazioni di derivate parziali del primo ordine le cui due variabili dipendenti sono la velocità media U ed il carico piezometrico H, mentre le variabili indipendenti sono lo spazio S ed il tempo t. Tale sistema di equazioni consente di ricavare un integrale generale. Per trovare tale integrale generale si considerano le equazioni del colpo d'ariete e si derivato la prima rispetto allo spazio S e la seconda

Equazioni del colpo d'ariete

_∂H∂s + _{1g ∂U∂t} = 0

_∂U∂s + _{ga² ∂H∂t} = 0

_1a² = _{ρES D Ē}

Ricordiamo le ipotesi sotto cui si sono derivate le precedenti equa-zioni sono quelle che comportano la trascurabilità degli effetti dissipativi ed in particolare data una grandezza G = G(s,t) si può dire che la velocità media del fluido per la derivata della grandezza G rispetto alla spazio è molto minore della de-rivata della grandezza G fatto rispetto al tempo:

G = G(s,t)_∂G∂s ‰‹ _∂G∂t

Questa è l'ipotesi fondamentale cui si aggiunge un ulteriore ipo-tesi minore per quanto riguarda la possibilità di esprimere il secondo termine dell'equazione di continuità.

A questo punto si hanno due equazioni di derivate parziali del primo ordine le cui due variabili dipendente sono la velocità me-die U e il carico geometrico H, mentre le variabili indipendenti sono lo spazio s ed il tempo t. Tale sistema di equazioni consente di ricavare un integrale generale, ∃∑. Per trovare tale integrale generale si considerano le equazioni del colpo d'ariete e si derivano la prima rispetto allo spazio s e la seco-la rispetto al tempo t.

I∂² ϕ∂s²—         -g ∂²R∂s²   -g ∂²R∂s²  ∂²U ∂s ∂t= -g∂²R∂s²∂²U——∂s²

Equazione di d'Alembert e della corda vibrante

∂²R∂t²  a²∂²R- - - -l'eq. di D'Alembert è ∂²u∂t²  a²∂²u- - - -l'eq. di D'Alembert è ∂²u∂t²  a²∂²u- - - -R(s,t) =

Le funzioni f e p sono completamente arbitrarie, cioè l'integgenereale dell'eq.di D'Alembert è dato dalla somma (a z²nd-ch regol--) per comodità, servirà per integrare un fenomeno fisico di due funzioni arbitrarie che hanno la variabi-ristica di avere come argomento la prima (t + onda (t - a) più la costante.

R(s,t) rappresenta l'integrale generale.

Non dimostreremo che R(s,t) è l'integrale generale dell'eq.di D'Alembert, però in qui farò facilmente e per esemp,si vedeche

r₁₅ = f'(-₁/_a) - p'(₁/_a) (Derivata prima di f risp.a ed s)

r₁₅₅ = f''(-₁/_a)² - p''(₁/_a) (Derivata seconda di f risp.a ed s)

r_t = f' - p' (Derivata prima di f rispetto a t)

r_tt = f'' - p'' (Derivata seconda di f rispetto a t)

Se si sostituisce nell'eq. di D'Alembert le derivate e le ot-tiamo coi definito a pa chef'' - p'' a² [₁/_a² (f'' - p-)] = o, qualunque siano f e pper cui è verificato che r è l'integrale generale

facciamo l'operazione analoga per quanto riguarda le equaziomodal capo d