Idraulica - Appunto 21

Moto di trasporto in un condotto circolare

Si consideri un condotto a sezione circolare in quanto serve per realizzare una pressione interna maggiore di quella esterna. Questo tipo di moto (moto di trasporto) lungo una certa direzione l'asse S della condotta lo abbiamo già studiato in condizioni di moto laminare.

Integrazione delle equazioni di Marier-Flores

Moto di Poiseuille: Si realizza una certa distribuzione nel caso delle correnti, ipotizziamo che sia diversa da zero solo la componente della velocità allineata con l'asse della condotta, quindi è chiaro che avremo una distribuzione della velocità lungo l'asse della condotta. Si è visto inoltre nel moto di Poiseuille che tale componente della velocità dipende solo dal generico raggio r (per l'equazione di continuità), cioè non dipende per simmetria dall'anomalia, e non dipende dall'ascissa S (per l'equazione di continuità) e se il moto è permanente come lo consideriamo non dipendere neppure dal tempo.

Quindi si ha che, in condizioni di moto laminare:

v(r) = _Δl/4μ (R² - r²)

R = Raggio della tubazione
r = Raggio generico in un sistema di coordinate di R

Distribuzione della velocità

Si consideri un condotto a sezione circolare in quanto serve per realizzare una pressione interna maggiore di quella esterna. Questo tipo di moto (moto di trasporto) lungo una certa direzione l'asse S della condotta. Lo abbiamo già studiato in condizioni di moto laminare.

Integrazione delle equazioni di Navier-Stokes

Il moto di Poiseuille: Si realizza una certa distribuzione della velocità nel caso delle correnti, ipotizziamo che sia diversa da zero solo la componente della velocità allineata con l'asse della condotta, quindi è chiaro che avremmo una distribuzione delle velocità lungo l'asse della condotta. Si è visto infatti nel moto di Poiseuille che tale componente della velocità dipende solo dal generico raggio r (per l'equazione di continuità), cioè non dipende per simmetria dall'anomalia e non dipende dall'asse S per l'equazione di continuità e se il moto è permanente come lo consideriamo, non dipende neppure dal tempo.

Quindi si ha che, in condizioni di moto laminare:

v(r) = Δp / 4μ (R² - r²)

R = Raggio della tubazione
r = Raggio generico in un sistema di coordinato e D.C.

Caratteristiche del moto

γ: Peso specifico del fluido
μ: Coef. di viscosità dinamica del fluido
i = - dH_f / dS è la pendenza motrice, perdita di carico piezometrico per unità di lunghezza

N.B. La pendenza motrice i_f è molto importante per le correnti in pressione e comunque per le correnti in generale.

Cioè, che è qui ricavare dalla precedente espressione si evince che, essendo il moto laminare le tensioni tangenziali sono dovute principalmente all'effetto della viscosità, quindi le tensioni tangenziali sono esprimibili come:

τ = μ dV / dr_R

Gradi di velocità che in questo caso si ha solo lungo la direzione r
dV / dr rappresenta la tensione tangenziale lungo la direzione r se S_r che esercita un elemento di superficie che ha come normale il versore di r

N.B. dV / dr è dV / dR (r₀)

Poiché conosciamo la distribuzione di pressioni in questo caso non si hanno problemi a ricavare la distribuzione di tensioni tangenziali.

τ_R = - μ dV (r₀) / dr = 2 μ δi = - δi / r

Tensione alla parete

Se vogliamo trovare il modulo della tensione alla parete:

τ_t0 = τ_R = ^{τ R₂}/_R τ_i - τ_t0 = R

Si vede che la distribuzione di tensioni tangenziali all’interno della tubazione cilindrica ha un andamento lineare in funzione del raggio, la distribuzione delle tensioni tangenziali è nulla all’asse ed aumenta con legge lineare lungo una direzione radiale naturalmente tutto è simmetrico riguardo all’asse S, fino ad arrivare al suo valore massimo τ_t in corrispondenza delle parete.

Andamento degli sforzi tangenziali

In realtà il risultato che ci dice che l’andamento delle tensioni tangenziali è di tipo lineare in una corrente in pressione di moto uniformo attraverso una sezione circolare, è più generale di quello da noi considerato che è un caso di moto laminare.

In particolare dimostriamo che qualunque siano le condizioni di moto la relazione trovata per il moto laminare vale sempre, ossia anche se il moto è turbolento.

Consideriamo un fluido che si muove di moto uniformo quindi di x ha una sola componente della velocità di regnato, che risulta ancora funzione di x se il moto è almeno mediamente permanente.

NB. Non si fa più l’ipotesi che il moto sia laminare, il moto può essere turbolento se si fa riferimento alle velocità di trasporto. L'unica componente di interesse da bere è quella lungo le direzione del moto quindi considerando corrente in-tre la velocità di trasporto non dipenda da vari ragionamenti di simmetria, non dipenda dal tempo qui.