Idraulica - Appunto 16

Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes

Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes: ρ⎕⎮v =⎕p + ²⎮v⎕⎮v = 0

2) Moto di Poiseuille

Si studia il moto di un fluido, che si muove di moto minore, all'interno di una condotta.

Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche, le componenti della velocità v sono date da:

vₓ = vₓ (x, r, ⍬, t)

vᵣ = vᵣ (x, r, ⍬, t)

v = v (x, r, ⍬, t)

Ipotesi:

• Il moto è permanente quindi non dipende dal tempo.
• Il moto è laminare per filetti rettilinei, quindi si ha che:

vᵣ = 0

v = 0

Oss.

Il moto non dipende da e poiché si svolge simmetricamente rispetto ad x. ∴ vₓ non dipende da e

Dall'equazione di continuità si vede che:

d/dx1/r d/dr (rvᵣ) + 1/r d/d⍬ v + r d/dt ( )= 0

Poiché vᵣ = v = 0, gli ultimi due termini della precedente sono nulli e quindi si ha che:

Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes

Ricordiamo le equazioni di Navier-Stokes {₁

2) Moto di Poiseuille

Si studia il moto di un fluido, che si muove di moto minore, all'interno di una condotta.

Consideriamo un sistema di coordinate cilindriche; le componenti della velocità sono date da:

v_z = v_z (x, r, φ, t)

v_r = v_r (x, r, φ, t)

v_φ = v_φ (x, r, φ, t)

Ipotesi:

• Il moto è permanente, quindi non dipende dal tempo.
• Il moto è laminare per filetti rettilinei, quindi è che:

v_r = 0

v_φ = 0

Oss. Il moto non dipende da e poiché si svolge simmetrica, quindiimmiinte al' = all' => v_z non dipende da e

Dall'equazione di continuità a vedi che:

par(v)

Poiché v_r = v_φ = 0, gli ultimi due termini delle precedenti sono nulli e quindi è che:

Per cui la velocità non dipende da x. In conclusione se v non dipende ne da t e ne da x; in r la v_x = v_x(r,t).

L'altra variabile di stato è la pressione:

p = p(x,r,u)

Condizioni di contorno

Se il raggio della condotta è r=R, allora: p e la v_x=0

v_r(R)=0

Per il principio dell'aderenza ossia in corrispondenza delle pareti il fluido ha velocità nulla (v_r(R)=0).

Sappiamo che β = V(-g/z) (campo di fase conservativo)

μ ∇²v_z=0 ?

Quindi dell'equazione di conservazione delle masse (prima equazione di Navier Stokes) si ha che:

-(∇p + ρ β = 0

Per cui se i filoni del fluido sono rettilinei e paralleli, la distribuzione della pressione è di tipo idrostatico.

Dunque si ha che:

∇²v =0

0=- – gρg/z dx + μ ( 1 ) + ( 1 ¹ )=>=>(g/z - g), ds

Condizioni al contorno

v_z = 0

v_r(R) = 0

Equazione di continuità

∇ . v = 0

∂v_z / ∂z + 1/r ∂ / ∂r (r v_r) + 1/r ∂v_θ / ∂θ = 0 → ∂v_z / ∂z = 0

Equazione di Navier-Stokes

ρ _∂h/∂x = μ/ℓ _∂/∂x (u_ϰ²)

Analizziamo il termine _∂h/_∂x

Vediamo che le velocità si rigle ad intervalli greci, quindi di l'energia cinetica della corrente non varia lungo il percorso, quindi le velocità media è costante: U=cost.= U²/2g = cost

Quindi se consideriamo il carico totale della corrente H=h+ U²/2g si vede che il termine U²/2g è costante.

Perché il fluido è viscosi il carico totale H decosce nel senso del moto, per un modo uniforme H diminuisce nel senso del moto.

= ∂H/_∂x = Perdita di energia per unità di lunghezza e di peso è costante.

_∂R/_∂x = cost

Il carico piezometrico dovre coordinamento come se carico tale perché l'energia cinetica è costante la linea che fa vedere l'andamento del carico piezometrico è quello elle giuida in massi (...)

Se poniamo AB = L allora l'energia dissipante per unità di lunghezza e di peso è dato da: ΔH / L

Sia i = ΔH / L La pendense marule i torniamo all'espressione sdH / dx = si vede che

- i = μ / δ d / r dr (r dv_x / dr) cerchiamo di iniezione

- i = - μ / δ d / x dr (r dv_x / dr) prima di tutto y sono molificiat entrambi i membri per a noi integramo demeno

- i π 2 / 2 = - μ dv_x / dr + A == → √ / d dv_x / dr = i π 2 - A / rx → so → v_x si trova nell'abe della condotto mentre

Per x = R v_x(R) = 0 quindi la velocità è massima sel'abe =dev. nulle d v_x / d t = 0 → Corriere porti A = 0.

Vel. nulla

Integriamo ancora una volta

μ / δ v_x = - i π 2 / 4 + B = Quindi v_x(R_x) = - δz / 4μ (R² - r²)

Calcoliamo la portata

Calcoliamo la portata:

Q = ∫_Ω τ_ρ dΩ

Dove n è la generica sezione della condotta

Q = ∫₀ ^R v_x 2πr dr == 2π δz / 4μ ∫₀ ^R τ_c (R² - r²) dr = = 2π δz / 4μ [R² r / 2 - r³ / 4]₀ ^R = δz · π / (8)μ R⁴

Ω = π R² e Q = Ω U allora la velocità media è data da:

U = δz R² / (8)μ

Se confrontiamo la velocità media vista sopra con la velocità massima v_max = δz R² / 4μ si vede che vale la seguente relazione v_max = 2 U.

La velocità media si può riscrivere anche come

V_m = 1/8 π ₈/(μ)

Te è dato un'espressione più generale della velocità media edove Ω è l'area di una generica sezione della condotta.

Vi è un legame lineare fra U_m e un legame di proporzione fisso. Tale proporzionalità è caratteristica del moto laminare.

Nei precedenti legame del moto turbolento non è riuscire. Dunque se si ha un fluido che si muove di moto laminare la velocità media U_m e la perdita di carico j, sono legati da una proporzionalità diretta.

Oss.

Abbiamo detto che affinché il modo sia laminare si deve avere Re (Reynolds) piccoli. Devono avere velocità basse e conseguentemente anche pressioni molto basse.

Moti di filtrazione Morini Ricalci

Si tratta di un moto laminare con problemi di interesse tecnico. Tenendo sempre conto di

V _m = 1/8 π ₈ Ω_{i / μ} (velocità media)

Analizziamo il moto di un fluido sillo attraverso degli strati V cositutiti da granili di varia materiale, i quali non essendo fornite rigidamente come coagulanti, formano dei fil (moti di) che rendono permeabile l'ammasso cobinanti. Possono esessere naturali o artificiali.

Se consideriamo il suolo sensere vediamo che questo può essere costituito da strati permeabile ed stratt impermeabile cioè i vari strati possono avere portalità diverse succede che all'interno di questi strati è fornita dalle acquali strati più permeabili; con strati sottostanti impermeabili e' il caso della falda freatica. La pressione atmosferica.

Può accadere anche che si accumuli acqua anche in diversi strati sottostanti impermeabili racchiuso tra strati im-permeabili, in questo caso la pressione è maggiore (falda artesiana), e' il caso di una falda in pressione

Gli ammassi porosi sono classificati a seconda della gran-dezza (diametro) dei granuli. Gli ammassi porosi artificiali i più comuni sono i filtri.

• Consideriamo un ammasso di granuli fra i massi dei quali si infila l'acqua

Se i granuli sono molto piccoli e complessivamente la velocità di filtrazione è molto bassa, si può utilizzare la relazione di proporzionalità fra gradiente motivante velocità (la media)

Perché la descrizione del campo di moto dell'acqua attraverso dei granuli non è semplice da descrivere e la complessa struttura drastica di contenitore e' l'intero insieme dei grani come campo di moto.

Campo di moto

Campo di moto

Per quanto riguarda le pressione il problema si risolve considerando le pressione esercitata dell’acqua su un in-golo grande le foci e si risolve il carico piezometrico H_p, e estendono a tutto il dominio.

Per il calcolo della velocità consideriamo delle superfici a carico piezometrico constante.

Il moto è facilmente analizzabilezionale e perpendicolare alle su-perfici a carico piezometrico constan--te (dette anche superfici equipotenziali).

Quindi anche le velocità è orizzonta--zionale e perpendicolare alle superficie perpendicolare che va da una superficie carico piezometrico maggiore ad un’altra con carico piezometrico minore tale velocità lo chiameremo velocità apparente v_app.

v_app: vettore con direzione perpendicolare alle superfici sopraicile e con verso verso carichi piezometrici de-crescenti.

Il campo di moto risolto è molto difficile per cui la velocità media trovata è molto minore della velocità reale.

Perciò

i = dR/dx

Dobbiamo ridefinire la pendenza media, per cui

i = √H_p.

Dunque in realtà se il moto vero è un moto laminare e è quindi considerato valido il regime tra velocità medio