I teoremi di Goedel

I teoremi di Gödel

Antonio Maida

Premesse

Il scoperto 1879, mentre da una parte risolveva definitivamente il millenario

modello di Klein legittimando le da un’altra parte fece sorgere

problema delle parallele geometrie non euclidee,

l’esigenza di riformulare le teorie fondamentali della matematica su basi assiomatiche secondo il

metodo euclideo. Tali teorie dovevano però essere fondate su assiomi, non più vista la

evidenti,

scarsa evidenza della negazione del ma la coerenza assicurava

postulato delle parallele, coerenti;

poi l’esistenza di un modello, anche se recondito.

Non a caso dunque, dal 1870 in poi, fondò la la

Cantor teoria degli insiemi, Frege logica, Peano

l’Aritmetica, riformulò la L’obiettivo era quello di trovare una che

Hilbert Geometria. teoria base

fosse nel senso che su di essa fosse possibile fondare gran parte della matematica, e della

adeguata,

quale fosse possibile provare la coerenza. Tale obiettivo era poi legittimato dal riduzionismo

ottocentesco col quale era stato possibile ricostruire l’Analisi sull’Aritmetica.

La prova della coerenza della teoria base non era però cosa da poco conto, non appena si scoprì che

la teoria degli insiemi di Cantor e la logica di Frege erano incoerenti. Un modo nuovo pensò di

averlo trovato il quale, nel suo privilegiò l’utilizzo dei i soli

Hilbert programma, metodi finitistici,

. Nei primi del novecento

in grado di legittimare una eventuale prova di coerenza dell’aritmetica S

Hilbert pose il problema della degli erano cioè gli stessi

completezza sintattica assiomi di Peano:

sufficienti per provare ogni proprietà che si conosceva esser vera nel modello dei numeri

standard

naturali? oppure serviva viceversa qualche altro assioma? La risposta è, come si è più volte detto,

nei di Gödel del

teoremi di incompletezza 1931

Si individuava quindi nella e nella delle nuove teorie assiomatiche

coerenza sintattica completezza

i due problemi essenziali dei Si osservi che, mentre la coerenza

fondamenti della matematica.

richiede l’assunzione di un numero minimo di assiomi, la completezza richiede invece

l’allargamento degli stessi; si capisce allora come ci possa essere una qualche incompatibilità fra

coerenza e completezza, e come dunque anche la concezione moderna di sia

assiomatica

problematica.

Si ricordi che, in base al di del ogni teoria formale è

teorema di completezza Gödel 1930, T

nel senso che i suoi teoremi sono esattamente le formule vere in ogni

semanticamente completa, /i∈Mod ⎬. La richiede viceversa

suo modello; cioè: com