I teoremi di de l'Hopital

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

I teoremi di de l’Hopital

I teoremi di de l’Hopital forniscono una strada per il calcolo di limiti che si presentano in particolari forme di indeterminazione.

Tali teoremi legano il calcolo di limiti in forma indeterminata al calcolo di limiti che coinvolgono le derivate delle funzioni in oggetto, che potrebbero quindi non presentare in forma indeterminata.

→ ∈

Siano f, g : (a, b) derivabili e nulle in x₀ ∈ (a, b).

Teorema (De L’Hopital - forma 0/0)

Si supponga g^′(x) ≠ 0 in un intorno di x₀; allora se esiste

lim_x→x0 f^′(x)/g^′(x)

esiste anche

lim_x→x0 f(x)/g(x)

e si ha

lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f^′(x)/g^′(x).

Dimostrazione. Sia x > x₀ con g^′(x) ≠ 0 in (x₀, x); per il Teorema di Cauchy esiste y ∈ (x₀, x) tale per cui

(f(x) − f(x₀))/(g(x) − g(x₀)) = f^′(y)/g^′(y).

Se x → x₀ allora y → x₀; dunque si ha

lim_x→x0⁺ f(x)/g(x) = lim_x→x0 f^′(x)/g^′(x).

In modo analogo si conclude che

lim_x→x0⁻ f(x)/g(x) = lim_x→x0 f^′(x)/g^′(x)

e dunque

lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f^′(x)/g^′(x).

Un analogo teorema vale anche nel caso in cui la forma di indeterminazione sia (∞/∞), dove il segno di ∞ non è precisato (potrebbe essere qualunque), e la dimostrazione è del tutto analoga.

Esempio

Sia da calcolare

lim_x→1 (x − 1)/log x.

La forma è 0/0; si ha

f^′(x)/g^′(x) = 1/(1/x) = x.

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