I teoremi di de l'Hopital

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

I Teoremi di de l’Hopital

I Teoremi di de l’Hopital forniscono una strada per il calcolo di limiti che si presentano in parti-

colari forme di indeterminazione. Tali Teoremi legano il calcolo di limiti in forma indeterminata

al calcolo di limiti che coinvolgono le derivate delle funzioni in oggetto, che potrebbero quindi

non presentare in forma indeterminata. → ∈

Siano f, g : (a, b) derivabili e nulle in x (a, b).

Teorema (De L’Hopital - forma 0/0) R 0

0 6

Si supponga g (x) = 0 in un intorno di x ; allora se esiste

0 0

f (x)

lim 0

g (x)

x→x 0

esiste anche f (x)

lim g(x)

x→x 0

e si ha 0

f (x) f (x)

lim = lim .

0

g (x) g(x)

x→x x→x

0 0

0 6 ∈

Dimostrazione. Sia x > x con g (x) = 0 in (x , x); per il Teorema di Cauchy esiste y (x , x)

0 0 0

tale per cui 0

−

f (x) f (x ) f (y)

f (x) 0

= = .

0

−

g(x) g(x) g(x ) g (y)

0

→ →

Se x x allora y x ; dunque si ha

0 0 0

f (x) f (x)

lim = lim .

0

g (x) g(x)

x→x

+

x→x 0

0

In modo analogo si conclude che 0 f (x)

f (x) = lim

lim 0

g (x) g(x)

x→x

−

x→x 0

0

e dunque 0

f (x) f (x)

lim = lim .

0

g (x) g(x)

x→x x→x

0 0

Un analogo Teorema vale anche nel caso in cui la forma di indeterminazione sia (∞/∞) dove

∞

il segno di non è precisato (potrebbe essere qualunque), e la dimostrazione è del tutto analoga.

Sia da calcolare

Esempio: −

x 1 .

lim log x

x→1

La forma è 0/0; si ha 0 1

f (x) = = x

0

g (x) 1/x

www.matematicamente.it 1