Gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

Università degli Studi di Pavia

Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali

Corso di laurea specialistica in matematica

Gruppo delle trecce, sue rappresentazioni e invarianti dei nodi

Relatrice: Tesi di laurea di:

Prof.ssa Mattia Paganini

Annalisa Marzuoli

Dip. di Fisica nucleare e teorica

Anno accademico 2006-07

Ringraziamenti

A conclusione del mio lavoro e dei miei studi voglio ringraziare la Prof.ssa Annalisa Marzuoli per la disponibilità e la professionalità con cui mi ha seguito e guidato.

Ringrazio il dott. Claudio Dappiaggi per la preziosa consulenza.

Sono riconoscente ai miei genitori per aver sempre approvato e incoraggiato le mie scelte.

Ringrazio i miei amici e compagni, con i quali ho condiviso il mio percorso di studio.

Mattia Paganini 1

Indice

Introduzione 5

1 Il gruppo delle trecce 9

1.1 Costruzioni topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Costruzione secondo Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Mapping class group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Generatori e relazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Gruppo delle trecce B_n e gruppo libero su n generatori . . . . 16

2 La rappresentazione di Burau 19

2.1 Forma ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Forma matriciale e forma non ridotta . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Risultati sulla non fedeltà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 La rappresentazione di Lawrence-Krammer 29

3.1 Nozioni introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Accoppiamento di Blanchfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Forchette e spaghetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Fedeltà della rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Ulteriori rappresentazioni di B_n . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Algebre di Hecke 45

4.1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Rappresentazioni dell’algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Costruzione della base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 La funzione traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 L’algebra di Birman-Murakami-Wenzl 54

5.1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Legame con la rappresentazione di Lawrence-Krammer . . . . 57

6 Invarianti polinomiali dei nodi 64

64

6.1 Nodi come chiusure di trecce . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Il polinomio HOMFLY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Il polinomio di Kauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A Richiami di teoria delle rappresentazioni 77

A.1 Azione di un gruppo su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2 Rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.3 Diagrammi di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.4 Le rappresentazioni di S_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.5 Formula per le dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Bibliografia 86

Elenco delle figure 11

1.1 Treccia su 4 componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Generatori di Artin di B_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Generatori σ_i di B_n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 D₂ e i generatori di π₁(D_n, d₀) . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Il Dehn half twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Azione di τ_α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 La curva “a otto” α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Archi sul disco 5-puntato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Forchetta F e una copia parallela F⁰ . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Il bordo E₁ con lo spaghetto N₄ . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Generico elemento T_ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1 Le azioni di Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 K₋, K₊ e K₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Le skein relations per l’algebra di Hecke . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Ripartizione del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

R

6.5 Indicatore A e indicatore B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.6 D₋, D_∞, D₊ e D₀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Introduzione

Lo studio del gruppo delle trecce e delle sue applicazioni inizia negli anni venti del Novecento, a opera di Emil Artin. Il gruppo delle trecce B_n, presentato in termini di n generatori e opportune relazioni, è un gruppo non abeliano di ordine infinito e pertanto lo studio delle sue rappresentazioni richiede l’impiego di tecniche più sofisticate di quelle utilizzate per i gruppi finiti. Il presente lavoro riguarda proprio l’analisi comparativa di diverse rappresentazioni di B_n e il loro utilizzo per costruire invarianti polinomiali dei nodi. Il gruppo delle trecce compare infatti in modo naturale nella teoria matematica dei nodi, in quanto ogni nodo immerso nello spazio tridimensionale può essere ottenuto come chiusura di una treccia aperta, rappresentata geometricamente come una collezione di n stringhe intrecciate, i cui estremi superiori e inferiori sono fissati su due dischi paralleli (teorema di Alexander).

Il problema di maggior interesse, rimasto irrisolto per molti decenni, riguarda la linearità dei gruppi delle trecce, vale a dire la ricerca di una rappresentazione fedele di B_n in un gruppo di matrici su un anello commutativo. Nel 1935 Werner Burau introdusse una rappresentazione (n−1)-dimensionale lineare non banale, che per lungo tempo fu considerata un buon candidato per una rappresentazione fedele (si mostra infatti che questa rappresentazione è fedele per n≤3). Solo alla fine degli anni Novanta è stato realizzato che la rappresentazione di Burau non è fedele per n≥5 (lasciando aperto l’unico caso n = 4).

Ruth Lawrence nel 1990 ha introdotto una rappresentazione del gruppo delle trecce, dipendente da due variabili, che nel 2000 Daan Krammer ha dimostrato essere fedele per n = 4 (in realtà la costruzione di Krammer è di tipo algebrico, mentre quella della Lawrence è di tipo topologico). Nel 2001 Stephen Bigelow è riuscito a provare, attraverso una nuova costruzione di natura topologica, che la rappresentazione di Lawrence-Krammer è fedele per ogni n e, quindi, il gruppo delle trecce risulta essere lineare. Il problema a lungo rimasto aperto ha trovato così una soluzione definitiva.

Questa tesi si ispira al contributo fondamentale di Stephen Bigelow ed è finalizzata a chiarire i legami tra le costruzioni algebrica e topologica della rappresentazione di Lawrence-Krammer e a mettere in luce aspetti relativi alla costruzione di invarianti polinomiali dei nodi.

Dopo aver introdotto la definizione di gruppo delle trecce, le sue relazioni con il mapping class group e con il gruppo libero su n generatori, nel secondo capitolo viene richiamata la rappresentazione di Burau nonché i risultati sulla sua non fedeltà.

Nel terzo capitolo si analizzano in modo critico i risultati riguardanti la rappresentazione di Lawrence-Krammer. In particolare nel paragrafo 3.6 viene presentato uno schema generale in cui si inseriscono le rappresentazioni di Burau e Lawrence-Krammer; tale schema si basa sul fatto che il gruppo delle trecce B_n agisce fedelmente come gruppo degli automorfismi del gruppo libero su uno stesso numero di generatori.

Nel capitolo 4, sulle algebre di Hecke, viene riconosciuto come la rappresentazione di Burau sia in realtà una rappresentazione del gruppo delle trecce in un’opportuna algebra di Hecke. Sull’algebra si introduce una funzione traccia che, nel caso della rappresentazione di Burau, risulta corrispondere all’invariante di Alexander per i nodi.

Nel capitolo 5, l’algebra di Birman-Murakami-Wenzl (BMW) è dapprima considerata relativamente al suo legame con l’algebra di Hecke: si costruisce infatti una decomposizione di tale algebra, che contiene una sottoalgebra isomorfa all’algebra di Hecke. Nella seconda parte del capitolo si mostra, riprendendo i lavori di Matthew Zinno, che la rappresentazione regolare dell’algebra BMW è irriducibile e coincide con la rappresentazione di Lawrence-Krammer del gruppo delle trecce, discussa nel terzo capitolo.

Nel capitolo finale si forniscono i minimi prerequisiti per comprendere il legame tra trecce e nodi (collezione di curve chiuse e semplici nel 3-spazio). Le costruzioni algebriche delle tracce sulle algebre di Hecke e BMW, esaminate nei capitoli precedenti, vengono esplicitamente legate al polinomio HOMFLY (traccia sull’algebra di Hecke) e al polinomio di Kauffman (ricavato dalla funzione traccia sull’algebra BMW). Entrambi questi polinomi dipendono da due variabili e si riferiscono rispettivamente a nodi orientati e non orientati. Viene proposta un’analisi originale delle relazioni tra questi due tipi di invarianti, mettendo in luce il ruolo della rappresentazione di Lawrence-Krammer, non sufficientemente chiarito in letteratura.

La tesi è corredata di un’appendice con richiami sulla teoria delle rappresentazioni del gruppo simmetrico, la cui algebra di gruppo è il punto di partenza per le costruzioni delle rappresentazioni del gruppo delle trecce nelle algebre di Hecke.

In questo lavoro non vengono affrontate le numerose applicazioni della teoria delle rappresentazioni del gruppo delle trecce, che in realtà sono estremamente importanti in Fisica teorica e in particolare nella teoria quantistica dei campi. Rappresentazioni unitarie del gruppo delle trecce compaiono infatti nelle teorie di campo conforme bidimensionale (holonomy representations e rappresentazioni basate sulla matrice R) e nella teoria di campo topologica tridimensionale del tipo Chern-Simons¹. In tali teorie, il polinomio HOMFLY, valutato per opportuni valori delle variabili, risulta essere la più generale osservabile fisica, ottenuta come valore di aspettazione quantistico di operatori chiamati “Wilson loops”.

Si osservi infine che problemi algoritmici legati al gruppo delle trecce (problema della parola, problema della coniugazione) sono ingredienti fondamentali di sistemi crittografici, come ad esempio il BCKE (Braid Group Commutator Key Exchange); si stanno attualmente analizzando protocolli che utilizzano le matrici della rappresentazione di Lawrence-Krammer (si veda il sito Internet http://www-cs.engr.ccny.cuny.edu/~csmma).

¹ Si veda ad esempio Enore Guadagnini: The Link Invariants of the Chern-Simons Field Theory - de Gruyter Berlin 1993.

Capitolo 1

Il gruppo delle trecce

La prima sezione riguarda la costruzione del gruppo delle trecce su n componenti. Si esamineranno diverse configurazioni di natura topologica e geometrica, che portano alla definizione di treccia e di gruppo di trecce, rispetto a un’opportuna legge di composizione. Saranno richiamate le relazioni di Artin tra i generatori del gruppo, non senza mostrarne il legame con il cosiddetto mapping class group. Risulterà utile anche la definizione di gruppo libero su n generatori, dalla quale si sviluppano una serie di considerazioni, che saranno utilizzate nel capitolo 3. Si rimanda a [7] per maggiori dettagli e per le dimostrazioni non completamente esplicitate.

1.1 Costruzioni topologiche

Sia D un disco nel piano complesso e sia C = {(z₁, z₂, ...z_n) ∈ Dⁿ : z_i ≠ z_j, i ≠ j}, con Dⁿ prodotto cartesiano di n copie di D. Il gruppo simmetrico S_n agisce naturalmente su C. Si può infatti assegnare un’applicazione Φ : C → S_n - azione del gruppo simmetrico S_n su C - definita come Φ(z₁, z₂, ...z_n) = (z_Φ(1), z_Φ(2), ...z_Φ(n)).

¹ Il gruppo delle permutazioni su n oggetti distinti, o gruppo simmetrico, è un gruppo di ordine n!. Si veda l’appendice A per le definizioni di gruppo simmetrico e di azione di un gruppo.

Denotato con Ĉ = C/S_n il quoziente dotato della topologia indotta, allora Ĉ è la collezione delle n-uple non ordinate (z₁, z₂, ...z_n) ∈ D per cui z_i ≠ z_j se i ≠ j.

La proiezione naturale π : C → Ĉ è una mappa regolare di n-ricoprimento ramificato, cioè la controimmagine è costituita da n foglie disgiunte.

Definizione 1.1. Il gruppo fondamentale π₁(Ĉ) di Ĉ è il gruppo delle trecce su n componenti e si denota con B_n.

Si può ricorrere alternativamente a una costruzione più intuitiva rispetto alla precedente.

Sia I l’intervallo unitario [0,1]; scelto un punto base z⁰ di Ĉ, si denota con z⁰ = {z₁⁰, z₂⁰, ...z_n⁰} un sollevamento di z⁰ a C.

Ogni elemento in π₁(Ĉ, z⁰) è rappresentato da un laccio α : (I, {0, 1}) → (Ĉ, z⁰), che viene sollevato ad α̂ : (I, (C, z⁰)), con α̂(1) = Φz⁰, per qualche Φ ∈ S_n. Con α_i si denotano i cammini in C, che congiungono z⁰ a Φz⁰_(i); tali cammini permettono di individuare degli archi A_i = (α_i(t), t) in D × I. Dal momento che α_i(t) ≠ α_j(t), i = 1, 2, ...n, si deduce che gli archi A_i sono disgiunti.

Definizione 1.2. L’unione disgiunta β = ⋃_i=1ⁿ A_i è una treccia geometrica su n componenti.

Un’omotopia di lacci α⁰, α¹ : I → Ĉ, associata a z⁰ può essere sollevata a un’omotopia F di cammini α⁰, α¹ : I → C, associata a {z⁰, Φz⁰}. Si ha così un’applicazione continua F : I × I → C per cui:

F(t, 0) = α(t)

F(t, 1) = α⁰(t)

F(0, s) = z⁰ = (z₁⁰, z₂⁰, ...z_n⁰)

F(1, s) = Φz⁰ = (z_Φ(1)⁰, z_Φ(2)⁰, ...z_Φ(n)⁰).

Se β⁰ e β¹ sono le trecce definite a partire da α⁰ e α¹, l’omotopia F individua una collezione di trecce β_s, per cui β₀ = β⁰ e β₁ = β¹.

1.2 Costruzione secondo Artin

Figura 1.1: Treccia su 4 componenti

Definizione 1.3. Due trecce β⁰ e β¹ sono equivalenti se e solo se è possibile costruire una collezione di trecce β_s, come sopra.

Si osservi infine che, sempre nell’ambito delle costruzioni topologiche, si possono considerare punti distinti p₁, p₂, ...p_n, presi all’interno del disco D, centrato nell’origine del piano complesso e avente raggio n + 1. Si denota con D_n il disco n-puntato D\{p₁, p₂, ...p_n} con punto base p₀ = −(n + 1)i su ∂D_n.

Definizione 1.4. Il gruppo delle trecce B_n è il gruppo di tutte e sole le classi di equivalenza di omeomorfismi h : D_n → D_n, che preservano l’orientazione e fissano puntualmente ∂D_n. Due omeomorfismi sono equivalenti se risultano omotopi relativamente a ∂D_n.

1.2 Costruzione secondo Artin

Una costruzione, ancora più intuitiva, dovuta originariamente ad Artin e ripresa anche da Bigelow [3], presenta le trecce come stringhe “intrecciate” nello spazio, con estremi fissati su piani paralleli. Questa costruzione è quella che ritrova immediato riscontro nelle applicazioni alla teoria dei nodi, poiché ogni nodo è presentabile come chiusura di un’opportuna treccia (si veda il capitolo 6).

Fissato un insieme P = {p₁, p₂, ...p_n} di punti distinti nel piano complesso, si ha:

Definizione 1.5. Una treccia su n componenti è un insieme costituito da n bordi distinti immersi regolarmente in C × I, che congiungono ogni punto (p_i, 0) a qualche (p_j, 1), in modo che ogni piano orizzontale C × {s} interseca ciascun bordo in esattamente un punto.

Definizione 1.6. Due trecce α e β su n componenti sono tra loro in relazione se e solo se esiste un’applicazione che deforma con continuità una nell’altra, mantenendo fissi gli estremi P × {0, 1}. Si scrive α ∼ β.

Proposizione 1.2.1. La relazione tra trecce è di equivalenza.

Dimostrazione. 1. α ∼ α. La mappa identica è continua e trasforma una treccia in se stessa: vale la proprietà riflessiva.

2. α ∼ β ⇒ β ∼ α. Se la treccia α viene deformata con continuità nella treccia β, l’inversa dell’applicazione che realizza tale trasformazione deforma con continuità β in α: questo prova la proprietà simmetrica.

3. α ∼ β, β ∼ γ ⇒ α ∼ γ. Se la treccia α viene trasformata nella treccia β e β è a sua volta deformata in γ, componendo le due mappe si determina una deformazione continua, che manda α in γ: vale anche la proprietà transitiva.

Se α è una treccia, si indica con [α] la classe di equivalenza associata ad α. Il gruppo delle trecce B_n è l’insieme delle classi di equivalenza di trecce su n componenti; si definisce un prodotto in B_n: [αβ] = [α][β], in cui αβ è la treccia ottenuta per traslazione, ponendo α sopra a β e congiungendo opportunamente gli estremi.

1.3 Mapping class group