Teoria dei giochi e sue applicazioni, tesina

Bibliografia e sitografia

• Pappalardo V., Breve storia della matematica
• Microeconomia, David A. Besanko, Ronald R. Braeutigam, edizione italiana a cura di Giam Pietro Cipriani, Paolo Coccorese. Capitolo 14
• Wikipedia
• MilleDuemila, Un mondo al plurale, Valerio Castronovo
• http://old.unipr.it/arpa/urdidmat/MC10_11/MC10_11Cap02.pdf
• http://www.ilpost.it/2015/05/25/teoria-dei-giochi/
• http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/DilemmaPrigioniero/DilemmaPrigioniero.htm
• http://www.treccani.it/export/sites/default/scuola/lezioni/storia/CUBA_lezione.pdf

Introduzione

Il 900 è un secolo che vede una moltiplicazione di teoremi e scoperte matematiche. Si sviluppa in questo periodo la Teoria dei giochi, che vede come centro dell'attività matematica Princeton. La teoria dei giochi è la parte della matematica dedicata allo studio e all’analisi delle decisioni ottimali in situazioni competitive. John Nash è considerato il principale studioso per quanto riguarda la teoria dei giochi. Si laurea proprio a Princeton, già diventata la capitale mondiale della teoria dei giochi e qui ha l’occasione di conoscere alcune delle menti più brillanti del 900, tra cui Einstein e Von Neumann.

John Nash ha rivoluzionato l’economia con i suoi studi di matematica applicata alla teoria dei giochi, vincendo il premio Nobel per l’economia nel 1994. Il saggio che gli valse il premio Nobel fu scritto nel 1949, quando era dottorando a Princeton.

Precursori

• L'origine di tale teoria risale al 1654, quando Pascal (1623, 1662) e Fermat (1601, 1665) in una corrispondenza si scambiarono idee che posero le fondamenta del moderno calcolo delle probabilità. Fermat fu uno dei matematici più produttivi del XVII secolo, nonostante fosse un magistrato e si occupasse della matematica da dilettante. Egli si interessò, oltre che di combinatoria, anche di geometria; in particolare risolse il problema delle tangenti (la determinazione della tangente in un dato punto di una curva) anticipando il concetto di derivata. Pascal invece fu un matematico e fisico francese che contribuì alla costruzione di calcolatori meccanici e allo studio dei fluidi. Pascal risolse un primo problema postogli dal Cavalier de Méré. Il Cavalier de Méré era un accanito giocatore che aveva calcolato che ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un dado non truccato fosse equivalente ad ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci, sempre di un dado non truccato. Tuttavia, giocando secondo tale convinzione, invece di vincere perdeva e scrisse a Pascal lamentando che la matematica falliva di fronte all'evidenza empirica. In realtà era De Meré che sbagliava ipotesi. La probabilità di ottenere 6 lanciando un dado è pari a 1/6 quindi egli pensava erroneamente che la probabilità di ottenere almeno un 6 in 4 lanci fosse 4*(1/6)=2/3. Allo stesso modo poiché la probabilità di ottenere un doppio 6 nel lancio di 2 dadi è 1/36, riteneva che la probabilità di ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci fosse 24*(1/36)=2/3. In realtà il primo caso rappresenta il contrario di non ottenere nessun sei, cioè 1-(5/6)^4. Nel secondo caso, ragionando sempre in questa maniera, si avrà una probabilità uguale a 1-(35/36)^24. Facendo i calcoli si ottiene una probabilità più alta per l’uscita di almeno un 6 in 4 lanci rispetto a quella di un doppio 6 in 24 lanci. Il carteggio tra Fermat e Pascal scaturì da un secondo problema riguardo la ripartizione della posta, posto sempre da de Méré. Il problema è così formulabile: come è possibile suddividere la posta fra due (o più) giocatori che possono ottenere un punto se la partita viene interrotta prima che uno dei due giocatori abbia raggiunto il risultato vincente? In una lettera del 29 luglio 1654 Pascal propose la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni.
• In un senso lato anche Machiavelli, descrivendo nelle sue opere politiche "giochi di corte", che venivano praticati nelle stanze vaticane, nelle corti romane o nei palazzi fiorentini, può essere visto come un precursore della teoria dei giochi. È visto come un anticipatore della teoria dei giochi dallo stesso John Nash.
• Il primo tentativo di trovare la strategia migliore in un gioco è stato compiuto dall’inglese James Waldegrave nel 1713. Egli analizzò un gioco di carte per due persone chiamato ‘le her’ e descrisse un modo per trovare la strategia migliore, usando l’approccio oggi noto come ‘minimax’. Nessuno gli prestò attenzione, e perciò il suo lavoro non influenzò gli sviluppi successivi della teoria dei giochi.
• Zermelo (matematico e filosofo tedesco) formula nel 1913 il Teorema di Zermelo, che inaugura l’approccio assiomatico ai giochi. Il teorema afferma che una partita a scacchi finisce sicuramente in uno dei seguenti tre modi: vince il bianco, vince il nero, oppure stallo.

Punti essenziali dell'evoluzione della teoria dei giochi

• L'espressione teoria dei giochi fu usata per la prima volta da Emile Borel (matematico e politico francese) negli anni 1920. Borel si occupò nella Théorie des jeux, di giochi a somma zero con due giocatori e cercò di trovare una soluzione nota come concetto di Von Neumann di soluzione di un gioco a somma zero.
• Nel 1928 (Sulla teoria dei giochi di società) viene enunciato il Teorema del minimax di Von Neumann, la cui applicabilità è limitata ai giochi a somma costante. Il teorema del minimax (o del maximin) stabilisce che ogni gioco finito a somma costante possiede almeno un punto di equilibrio di minimax (un valore, o una strategia, che minimizza il valore massimo di una funzione) in strategie pure o miste.
• Nel 1944, In The Theory of Games and Economic Behavior, John von Neumann (fisico, matematico e informatico ungherese) e Oskar Morgenstern (economista austriaco) introducono il concetto di stable set e separano i giochi cooperativi da quelli non cooperativi. I due studiosi tentano di matematizzare il comportamento umano nei casi in cui l'interazione fra uomini comporta la vincita, o lo spartirsi, di qualche tipo di risorsa. La teoria si applica quindi a un’infinità di scenari più o meno complessi, da una partita a scacchi a come si regolamenta un mercato per gli scambi economici.
• Nel 1950 John Nash formula il concetto di Equilibrio di Nash, che si può considerare come la generalizzazione del minimax ai giochi a somma variabile. L’equilibrio di Nash si basa sul teorema del punto fisso di Kakutani (1941) secondo cui, data una funzione chiusa, esiste almeno un punto fisso che è l’elemento del dominio che non viene influenzato dalla funzione.

Idee chiave

La teoria dei giochi è lo studio del comportamento strategico di individui che comprendono che le loro decisioni influenzano le azioni di altri individui.