Concetti di relazioni e classi di equivalenza nella fisica e matematica

Da quanto si è detto è agevole capire che lo Fra ì studi della fisica è imperniato sulle osservazioni delle variazioni di grandezze e delle loro reciproche relazioni. Si ritiene ora opportuno aprire una parentesi per richiamare e sottolineare alcuni concetti circa il significato di grandezza in senso matematico e fisico. A questo scopo è bene richiamare alcune idee della matematica moderna, e precisamente quelle che si riferiscono allo studio delle relazioni in un insieme ed alla partizione in classi di equivalenza.

Quali sono le relazioni tra insiemi e coppie ordinate?

Fra due insiemi è possibile compiere un’operazione che consiste nell'associare gli elementi di un insieme con quelli dell’altro formando delle coppie ordinate secondo un certo criterio. La stessa operazione si può fare nell' ambito di un solo insieme, associandone gli elementi.

L'insieme delle coppie ottenute costituisce quella che viene chiamata una relazione ; il suo studio si compie in base al criterio con il quale si I formano le coppie e permette di porre

in evidenza alcune particolari proprietà.

Esempi di relazioni di equivalenza

Nell'insieme delle automobili Alfa sud, Al fetta, 127, 126, 131, studiamo la relazione riguardante la casa costruttrice (ossia: «... è costruita da...»). Diremo che si tratta di una relazione riflessiva, in quanto ogni automobile ha la stessa marca di se stessa; si tratta anche di una relazione simmetrica: la 127 è costruita dalla Fiat come la 126, e la 126 lo è come la 127; infine, considerando che la 127 è un’automobile Fiat come la 126, la 126 lo è come la 131 e questo implica che la 127 e la 131 sono entrambe automobili Fiat, si può affermare che la relazione è transitiva.

Una relazione come questa (riflessiva, simmetrica e transitiva) si dice relazione di equivalenza.

Altri esempi di relazioni di equivalenza possono essere «... è parallela ...» nell'insieme delle rette complanari;

«è nato nello stesso anno (o mese, o giorno)» in un insieme di persone. Nell'insieme delle cinque automobili studiato prima si possono formare due sottoinsiemi in relazione alla casa costruttrice; nell'insieme delle figure a lato si possono formare dei sottoinsiemi secondo il colore.

Partizione in classi di equivalenza

Osserviamo che i sottoinsiemi ottenuti sono a due a due disgiunti (non esistono automobili con¬temporaneamente appartenenti alla Fiat e all'Alfa Romeo, non esistono figure contemporaneamente colorate e bianche); unione dei sottoinsiemi formati è insieme U (dove U sta per universale, ossia l’insieme considerato inizialmente); nessun sotto¬insieme è vuoto.

Quando si raggiungono siffatti risultati, si dice che nell'insieme considerato si è ottenuta una partizione in classi di equivalenza.

Ogni classe di equivalenza in un insieme è individuata da uno qualsiasi dei suoi elementi; in altre parole, ogni elemento equivale ad altri’ del suo stesso sottoinsieme nel servire per rappresentare la classe cui appartiene (la marca Fiat può essere rappresentata da una qualsiasi vettura Fiat la classe di leva 1950 da un qualsiasi soldato nato in quell'anno, e così via).

Una relazione di equivalenza permette di ottenere un risultato di particolare importanza, nell'insieme considerato è possibile formare dei sotto¬insiemi basati sul criterio dettato dalla relazione.