Grandezze fisiche e vettoriali, vettori e caratteristiche

Grandezze fisiche

Grandezze scalari: rappresentate da un numero e un'unità di misura (T, u, t).

Grandezze vettoriali: rappresentate da un vettore oltre che da un numero e un'unità di misura (v, a, F).

Vettore

Vettore caratterizzato da:

• Modulo: lunghezza proporzionale al valore della grandezza.
• Direzione.
• Verso (dx o sx).

Hanno un punto di applicazione → in Fisica è rilevante.

Esistono i seguenti: vettori equipollenti → modulo, direzione e verso uguali, ma applicati in punti diversi.

Campo vettoriale

Campo vettoriale: “Regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; l’insieme di tali vettori.”

Esempi: campo elettrico, campo gravitazionale.

Campo uniforme: campo in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono identici (verso, direzione e modulo uguali). È un campo che non varia nello spazio.

Campo stazionario: campo in cui i vettori (per diversi) si mantengono invariati nel tempo. È un campo che non varia nel tempo.

Versore

Versore: vettore di modulo unitario, utilizzato per determinare particolari direzioni e versi.

Nel sistema cartesiano:

• â verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce x.
• ĵ verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce y.
• k̂ verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce z.

In coordinate polari:

• ê verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce r.
• ĵ verso unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce θ.

Grandezze fisiche

• Grandezze scalari: rappresentate da un numero e un'unità di misura (T, un, t).
• Grandezze vettoriali: rappresentate da un vettore oltre che da un numero e un'unità di misura (̅, ̅͢, F).

Vettore

Vettore caratterizzato da:

• Modulo: lunghezza proporzionale al valore della grandezza.
• Direzione.
• Verso (dx o sx).

Hanno un punto di applicazione —> in Fisica è rilevante.

Esistono i seguenti: vettori equivalenti —> modulo, direzione e verso uguali, ma applicati in punti diversi.

Campo vettoriale

Campo vettoriale: regione dello spazio, ad ogni punto della quale può essere associato un vettore; è anche l'insieme di tali vettori.

Esempi: campo elettrico, campo gravitazionale.

Campo uniforme: campo in cui per ogni punto dello spazio i vettori sono identici (verso, direzione e modulo uguali). È un campo che non varia nello spazio.

Campo stazionario: campo in cui i vettori (per diversi) si mantengono invariati nel tempo. È un campo che non varia nel tempo.

Versore

Versore: vettore di modulo unitario, utilizzato per determinare particolari direzioni e versi.

Nel sistema cartesiano: âₓ versore unitario di direzione e verso dell'asse x positivo ê è perpendicolare tra di sé e y (positivi) i versori sono î_y e î_z le capacità rappresentano e si indicano che sono versi.

In coordinate polari: âᵣ versore unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce r âΘ versore unitario che indica la direzione e il verso in cui cresce Θ.

Scomposizione di un vettore

⃗ = _x̂_x + _ŷ_y.

⃗ = (_x, _y).

Modulo → |⃗ | = = √(_x² + _y²).

Direzione e verso: tg Θ = _y / _x.

Nello spazio tridimensionale

⃗ = _x̂_x + _ŷ_y + _ẑ_z.

|⃗ | = √(_x² + _y² + _z²).

Proprietà dei vettori

• Prodotto di un vettore per uno scalare → ⃗ = m⃗.
• Somma di vettori: proprietà commutativa → ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗.
• Associativa → ⃗ = (⃗ + ⃗) + ⃗ = ⃗ + (⃗ + ⃗).
• Somma grafica in due modi: (a) traslazione testa-coda; (b) traslazione coda-coda (regola del parallelogramma).
• Differenza tra vettori → ⃗ = ⃗ - ⃗ = ⃗ + (−⃗).

(4) Somma di più vettori.

v = _∑ⁿi=1vi.

(5) Somma di vettori in coordinate cartesiane = a_xû_x + a_yû_y.

b = b_xû_x + b_yû_y.

c = a + b = (a_x + b_x)û_x + (a_y + b_y)û_y.

(6) Prodotto tra vettori.

Prodotto scalare

Prodotto scalare.

S = a·b = abcosΘ.

Oppure:

S = a·b = (a_xû_x + a_yû_y + a_zû_z) · (b_xû_x + b_yû_y + b_zû_z).

= a_xb_xû_x² + a_yb_yû_y² + a_zb_zû_z².

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.

Il prodotto scalare tra due vettori è uguale al prodotto del modulo di uno per la proiezione su di questo dell'altro vettore:

s = c·d = (c cosΘ)d = c(bcosΘ).

Le sue proprietà sono:

• a·b = 0 uno dei due vettori è nullo oppure sono perpendicolari.
• Vale la proprietà commutativa e distributiva.
• (a·u)² / |u|² = a².
• Teorema di Carnot (o del coseno).

c² = a² + b².

c² = (a⃗ + b⃗) · (a⃗ + b⃗) = a² + b² + 2abcosθ.

=> c² = a² + b² + 2abcosθ = a² + b² + 2a⃗ · b⃗.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale.

|c⃗| = |a⃗| |b⃗| sinθ.

Modulo: c = absinθ.

La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori.

Il verso è dato da una convenzione - regola della mano destra.

Se a⃗ × b⃗ ≠ vuoto, il vettore a verso b e il verso di C sarà lo stesso del pollice, se b × a⃗ ≠ vuoto, il vettore b verso a.

Le sue proprietà sono:

• (i) È anticommutativo: a⃗ × b⃗ = - b⃗ × a⃗.
• (ii) Vale la proprietà distributiva ma non l'associativa: a⃗ × (b + c⃗) ≠ (a⃗ × b⃗) × c⃗.
• (iii) a⃗ × b⃗ = 0 <=> a⃗ = 0 v b⃗ = 0 v a⃗ || b⃗.
• (iv) In particolare, u_x × u_x = 0 ; u_y × u_y = 0 ; u_z × u_z = 0 u_x × u_y = u_z; u_y × u_z = u_x; u_z × u_x = u_y u_z × u_y = u_x; u_y × u_x = u_z; u_x × u_z =

Prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

a = a_x û_x + a_y û_y + a_z û_z.

b = b_x û_x + b_y û_y + b_z û_z.

c = a x b.

Il prodotto vettoriale viene definito dal determinante:

c = û_x û_y û_z a_x a_y a_z b_x b_y b_z.

c = (a_yb_z - a_zb_y) û_x + (a_zb_x - a_xb_z) û_y + (a_xb_y - a_yb_x) û_z.

Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Prodotto scalare a · b = ab cosΘ = ab_τ.

Prodotto vettoriale a x b = absinΘn = ab_τn.

Momento di un vettore rispetto ad un punto

Momento di un vettore rispetto ad un punto.

M_O = OP x a = OP ꓕ a sinΘ = OH x a.

Modulo: M_O = h · a.

OP obli braccio di a rsp. ad O.

Il momento rispetto ad un punto O' è M_O' = O'P x a = (O'O + OP) x a = O'O x a + M_O.

Derivata di un vettore

Derivata di un vettore.

Dato un vettore che varia nel tempo:

a(t + Δt) = a(t) + Δa.

Nel tempo, a ha cambiato anche in calo.

Δa = a(t + Δt) - a(t).

^lim Δt→0 Δa / Δt = da / dt.

Proprietà delle derivate di vettori:

• d/dt (a(t) + b(t)) = da/dt + db/dt.
• d/dt (ma(t)) = m da/dt.
• d/dt (a(t) xb) = da/dt x b + a x db/dt.

Dato un vettore in coordinate cartesiane:

a = a₁x + a₂y + a₃z.

d/dt a(t) = da₁/dt x + da₂/dt y + da₃/dt z.

Derivata di un versore

Derivata di un versore.

Sia u(t) un versore che non è fisso, ma cambia, nel tempo, direzione e verso (no modulo).

Δu = u(t + Δt) - u(t); u² è un versore finiti |u| = 1.

Per Δt = 0 ===> Δu² / Δt ===> du² / dt.

|du| = du = |u(t)| dθ = dθ.