Grafici di particolari funzioni goniometriche con commenti

Grafici di particolari funzioni goniometriche con commenti 1

F. Bonaldi

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Traslazioni delle funzioni goniometriche

y = sin x

y = sin x + 2

y = sin (x+2)

Le funzioni sono sinusoidi aventi tutte le stesse caratteristiche, ad esempio l’ampiezza e il periodo, pari 2π.

a La funzione seno, y = sin x, è compresa tra le rette di equazione y = ±1.

La seconda, y = sin x + 2, può essere considerata come somma della funzione seno e della funzione costante y = 2, e quindi è una sinusoide con le stesse caratteristiche della funzione seno, ma compresa tra le rette y = 3 e y = 1, che si trova lungo la retta di equazione y = 2: essendo traslata, tutti i punti che le appartengono hanno ascissa uguale a quella dei punti di y = sin x, e ordinata uguale a quella di questi ultimi aumentata di 2.

Ad esempio, passa per [0; 2] e per [π/2; 3].

La terza funzione, y = sin (x+2), si distingue dalla funzione seno: entrambe le curve sono comprese tra le rette y = ±1, quindi le ordinate dei loro punti sono uguali; le ascisse dei punti di y = sin (x+2) sono pari a quelle dei punti di y = sin x, diminuite di 2.

Ad esempio, y = sin (x + 2) passa per [−2; 0] e per [(π/2) − 2; 1].

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Grafici di particolari funzioni goniometriche con commenti 2

F. Bonaldi

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Variazione dell’ampiezza e della periodicità

y = sin x

y = sin 2x

y = 2 sin x

Le sinusoidi di equazione y = sin x e y = 2 sin x presentano la stessa periodicità, che vale 2π, ma la loro ampiezza è differente: ciò dipende dal coefficiente che moltiplica il seno.

Infatti, una sinusoide del tipo y = k sin x con k ≠ 0 è compresa tra le rette di equazione y = ±k, e perciò al variare di k varia anche l’ampiezza della sinusoide.

All’aumentare di k, aumenta l’ampiezza della sinusoide; la periodicità resta sempre invariata (2π).

Prendendo invece in considerazione la funzione y = sin 2x si può constatare che, come la funzione seno, è compresa tra le rette y = ±1, ma la periodicità è variata: non più 2π, ma π.

Una sinusoide del tipo y = sin kx con k ≠ 0 ha infatti periodo T = 2π/k ed è sempre compresa tra le rette y = ±1.

All’aumentare di k, diminuisce la periodicità e viceversa.

Ad esempio, la periodicità della funzione y = sin 3x è: 2π/3 e la periodicità di y = sin x/3 è: 6π.

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