Glossario, teoremi e dimostrazioni di algebra lineare

Glossario algebra lineare

N-pla ordinata di numeri reali

In cui n sta per il numero di componenti reali. Vettore: ogni coppia di termini è una coppia ordinata (x, y) ≠ (y, x).

Vettore di ordine n

Le cui componenti sono tutte nulle tranne la i-Vettore esima, che è uguale a 1 fondamentale, e = (0, 0, …, 1, …, 0).

Vettore nullo

Vettore di ordine n le cui componenti sono tutte nulle. Vettore nullo 0 = (0, 0, …, 0).

Scalare

Qualsiasi numero reale.

Spazi vettoriali

Insieme di enti (n-ple reali ordinate) in cui sono possibili le operazioni di somma (tra vettori) e prodotto (di un vettore per uno scalare), che possiede cioè le proprietà commutativa, del prodotto e distributiva.

Spazio vettoriale reale

1 ∈ Rⁿ = {...}

Famiglia di vettori linearmente indipendenti

Dei vettori sono tra loro linearmente indipendenti se e solo se, qualunque operazione venga effettuata tra di loro, non si ottiene mai un vettore nullo: l₁v₁ + l₂v₂ + … + l_nv_n = 0 tutti combinatori (l) nulli.

Famiglia di vettori linearmente dipendenti

Dei vettori sono tra loro linearmente dipendenti se e solo se, con combinatori che non sono tutti nulli, dalla loro somma si può ottenere il valore 0 (vettore nullo): l₁v₁ + l₂v₂ + … + l_nv_n = 0 alcuni (o tutti) l₁, l₂, l_n ≠ 0.

Sono anche detti vettori proporzionali o allineati.

Vettori univocamente determinati

Per ogni vettore v scritto come combinazione lineare dei v_i linearmente indipendenti, i combinatori devono essere tutti = 0. Se ottengo v da un’altra combinazione di combinatori, cado in contraddizione.

Sottospazi vettoriali

Si dice sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V un sottoinsieme che contiene tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori compresi in V, cioè presenta le seguenti proprietà:

Sottospazio vettoriale

• 0 ∈ W
• Chiusura rispetto alle operazioni lineari

Chiusura rispetto alle operazioni lineari

Combinando linearmente due vettori all’interno di W la loro risultante ∈ W, av + bw ∈ W.

Spazio generato o sottospazio di V

È il sottoinsieme di tutte le combinazioni lineari dei v dati, W = <v₁, ..., v_i>.

Sottospazio generato da vettori linearmente dipendenti

W = sottospazio ridondante

Sottospazio generato da vettori linearmente indipendenti

W = R

Sottospazio vettoriale di R²

Algebricamente: tipo di sottoinsieme di vettori chiuso per le combinazioni lineari in R². Geometricamente: Insieme di tutti i vettori (cioè le rette), passanti per l’origine, i cui punti cadono sulle rette disegnate dal vettore dato.

Sottospazio vettoriale di R³

Algebricamente: tipo di sottoinsieme di vettori chiuso per le combinazioni lineari in R³. Geometricamente: Insieme dei piani, passanti per l’origine, i cui generatori sono vettori (cioè rette) linearmente indipendenti (non paralleli) e non nulli.

Sottospazio generato in R²

W = <v₁> 1 vettore, W = <v, w> 2 vettori, W = R² = <v₁, v₂>. Dati 2 vettori v₁ e v₂ linearmente indipendenti, possono esserci infinite altre combinazioni con cui posso scrivere un sottospazio generato da più di 2 vettori, basta modificare a piacere i valori dei combinatori.

Sottospazio generato in R³

• Caso linearmente indipendenti: W = R³ = <v₁, v₂, v₃>
• Caso linearmente dipendenti: W = <v₁, v₂, v₃> = ridondante <v₁, v₂>: Almeno uno dei 3 è combinazione lineare degli altri (giace sullo stesso piano di uno degli altri 2 vettori e corrisponde semplicemente a quel vettore allungato o accorciato o di verso opposto)

Generatori

Dato un sottospazio W dello spazio vettoriale V, i vettori della famiglia V sono generatori di W (ossia W è generato da v₁, v₂, …, v_r) quando W = <v₁, v₂, …, v_r> = {∑ a_iv_i, a_i ∈ R}. Sottoinsieme di W che contiene vettori i quali, tramite le loro combinazioni lineari, danno tutto lo spazio W dato.

Insieme dei generatori

• Se linearmente dipendenti: Almeno 1 è combinazione lineare degli altri
• Se linearmente indipendenti

Base

Dati uno spazio vettoriale V e un suo sottospazio W, si dice base l’insieme di generatori di W che sono vettori linearmente indipendenti {e₁, e₂}. Base canonica: Non genera ridondanze, è una forma chiara di esprimere i vettori in modo univoco.

Dimensione di un sottospazio

• Numero di vettori o elementi (fisso) posseduto da ciascuna delle (infinite) basi di un sottospazio di Rⁿ
• Dimensione di R² = 2
• Dimensione di R³ = 3
• Dimensione di Rⁿ = n

È il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che se ne possono estrarre (è la dimensione dello spazio generato o span lineare dei vettori).

Rango di una famiglia di vettori

rk {v₁, …, v_n} posto: m numero di vettori dati, n dimensione dello spazio Rⁿ; rk ≤ min { m, n }.

Rango massimo

Geometricamente: è la dimensione dello spazio generato (span) <v₁, …, v_n>. Quando il rango dei vettori dati è = {v_i}, cioè il rango massimo, i vettori dati sono tutti linearmente indipendenti (la famiglia intera è linearmente indipendente).

Matrici

Tabella rettangolare di m x n numeri reali.

Matrice

• m righe
• n colonne

Matrice quadrata

Matrice con lo stesso numero di righe e di colonne, m = n.

Matrice rettangolare

Matrice con più righe che colonne o con più colonne che righe, m ≠ n.

Matrice unitaria

È la matrice che ha tutti zeri come elementi, tranne un 1 in ogni componente della diagonale principale (costituita dagli elementi a₁₁, a₂₂, a₃₃ … a_nn).

Matrice nulla

Matrice formata da soli zeri.

Matrice trasposta

Matrice in cui vengono scambiati i valori delle righe e quelli delle colonne.

Riduzione a scala di Gauss

Partendo da un dato qualunque, si arriva in un numero finito di passi ad ottenere vettori con le componenti (gli zeri) disposte a scala.

Varietà lineare

Sottoinsieme di rette o piani che non passano necessariamente per 0 (possono farlo, oppure no) S = h + U (dove U = <u, v> = au + bv se ho 2 vettori oppure U = <u> se ho 1 solo vettore).

Geometricamente: S = sottospazio più un vettore costante (cioè spostato) in R² o piano in R³ S = h + U.

Spazio direttore

Retta parallela a h + <v> (dove, se ho più di un vettore in U, è <u, v> anziché solo <u>). Direzione della varietà: r = h + av (con a qualsiasi ∈ R), U = au = <u> (oppure <u, v>).