Insiemi-Proprietà

Gli insiemi

Appunti di A. Mele

Cos’è

L’insieme è un concetto primitivo, cioè non è definibile mediante altri concetti più semplici e non è riconducibile ad altri concetti definiti in precedenza, ed indica un raggruppamento di elementi.

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole (A, B, C…) e gli elementi con le lettere minuscole (a, b, c).

Appartenenza

Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme X, si usa il simbolo di appartenenza, cioè: x∈X e mai viceversa. Il simbolo di non appartenenza è ∉.

Ci sono tre modi per rappresentare gli insiemi:

• Con i diagrammi di Eulero-Venn, che è una rappresentazione geometrica.
• La rappresentazione estensiva, che consiste nell’elencazione di tutti gli elementi delimitati da parentesi graffe. A={x;y;w;k}
• La rappresentazione intensiva, quando si enuncia una caratteristica degli elementi.

A={x|x è una lettera latina che non appartiene all’alfabeto italiano}

Uguaglianza

Se due insiemi sono uguali, si ricorre al simbolo di uguaglianza =. L’uguaglianza gode anche di 3 proprietà:

1. prop. Riflessiva: ogni insieme è uguale a se stesso:

A=A

2. prop. Simmetrica: se un insieme A è uguale ad un insieme B, B è uguale sempre ad A. →

A=B B=A

3. prop. Transitiva: se due insiemi A e B sono uguali a C, tutti sono uguali.

A=B, B=C; A=B=C

L’insieme vuoto

A= {x|x è uno dei vertici di un quadrato con 5 lati}

∅

A={} oppure A={ }

Tutti gli insiemi vuoti coincidono. Se A={} e X={}, A=X

Ambiente o universo

L’universo rappresenta la fonte da cui derivano tutti gli elementi. Se si stabilisce:

β, λ

A={x|x è una lettera che non appartiene all’alfabeto italiano} allora A={y, x, …}.

In questo caso se si volesse trarre una lettera dall’alfabeto inglese che non è in quello italiano, bisogna indicare che U è la fonte.

Sottoinsiemi

Se A= B, B è un sottoinsieme di A. Si indica così:

B⊆A oppure A⊇B

Se tutti gli elementi di B sono contenuti anche in A, ma A≠B, si scrive:

B⊂A (B è strettamente contenuto in A)

A A

B B a

a, b, c b, c