Gli indici di forma

Analisi delle distribuzioni statistiche

Le medie danno l'idea dell'ordine di grandezza del fenomeno studiato. Gli indici di variabilità segnalano il grado di diversità tra le singole manifestazioni del fenomeno. Gli indici di forma completano il quadro delle tecniche per l'analisi e la comprensione delle caratteristiche di una distribuzione statistica secondo un carattere quantitativo. L'introduzione di indici di forma richiede le distribuzioni di frequenze.

Distribuzione simmetrica e asimmetrica

Una distribuzione si dice simmetrica se le modalità a sinistra e a destra della mediana m sono equidistanti e se ogni coppia di modalità equidistanti ha la stessa frequenza. In poche parole, una distribuzione è simmetrica se l'asse di simmetria suddivide il suo grafico in due parti tali che la parte destra è l'immagine speculare di quella sinistra. Nel caso dell'istogramma useremo il termine "classe" e "densità di frequenza".

• Proprietà: Media = mediana;
• Somma degli scarti della media aritmetica elevati ad una potenza dispari è uguale a 0;
• Il primo e terzo quartile sono equidistanti da m.

Nel caso non ci siano queste condizioni siamo nel caso di asimmetria. Preso come punto di riferimento il punto dell'asse sulle ascisse uguale ad m, si ha asimmetria positiva se la coda va verso destra, nel caso opposto è negativa.

Indici di asimmetria

L'indice α₁ è nullo in caso di simmetria; sarà positivo o negativo nel caso in cui la coda vada verso destra o sinistra. Oltre ad essere un numero puro è un indice normalizzato che va da [-1,1]; se la distribuzione è simmetrica allora α₁=0 ma non viceversa. L'indice di asimmetria α₂ (skewness) è nullo in caso di simmetria e positivo o negativo a seconda della posizione della coda della distribuzione. È un numero puro ma è molto influenzabile dai valori anormali e ha un campo di variazione indeterminato.

Entrambi gli indici possono essere uguali a 0 anche se la distribuzione è asimmetrica come si vede qua: nonostante entrambi gli indici siano 0, α₁=10 perché μ=m=10 ed α₂=0 visto che la somma è 0, la distribuzione è asimmetrica!

Per α₃ si intende il rapporto tra (q₃+q₁-2m)/(q₃-q₁) dove m e le due q sono la mediana e i due quartili. Nel caso di asimmetria positiva la distanza tra terzo quartile e mediana è maggiore di quella tra primo quartile e mediana. L'indice essendo normalizzato ci consente di dire se l'asimmetria della distribuzione sia più o meno forte ed è robusto rispetto agli outliers.

Distribuzione normale o gaussiana

La distribuzione normale o gaussiana: la curva di frequenze ha una forma caratteristica a campanulare. Il valore medio si trova esattamente al centro della distribuzione e la curva è simmetrica rispetto ad esso, quindi, valore medio, mediana e moda coincidono. La maggior concentrazione di osservazioni si ha attorno al valore medio; agli estremi ce ne sono pochissimi. Tale distribuzione descrive una famiglia di distribuzioni tutte con la stessa forma a campana ma con media e varianza diverse. In una distribuzione normale con media μ e scarto quadratico σ viene indicata con N(μ,σ). La funzione f(x) descrive una famiglia di curve importanti: se varia μ si sposta orizzontalmente l'asse.