Gestione di Impianti Industriali

Teoria delle code

Data Materia Autore Progettazione di Impianti Industriali 1° marzo 2021 Simonetti Andrea Titolo Teoria delle Code

Nel momento in cui ci troviamo ad andare in un supermercato per cercare di acquistare prodotti ad esempio, risulta altamente improbabile che troviamo la cassa sgombera o lo sportello pronto ad erogare il servizio. È sempre necessario aspettare il nostro turno.

Questo tipo di sistema vige anche in campo industriale, come nel caso di una macchina utensile che deve lavorare un numero di lotti.

Il costo totale del servizio è dato dalla somma di due voci, quello del servizio reso e quello dell’attesa.

Dal punto di vista di chi deve gestire l’organizzazione è necessario individuare l’ottimo compromesso tra il costo del servizio reso che aumenta all’aumentare dell’efficienza del servizio e il costo dell’attesa, che diminuisce all’aumentare dell’efficienza dell’esercizio.

L’efficienza del servizio può essere modificata variando il numero di operatori che erogano il servizio, aumentando ad esempio il numero delle casse disponibili per pagare al supermercato che comporta ad ogni modo un aumento del costo. Un altro modo per variare l’efficienza del servizio è la velocità di erogazione del servizio, un aumento di velocità comporta un aumento di efficienza.

Entrambi i parametri sono in grado di variare l’efficienza del servizio stesso e il gestore del sistema si pone l’obiettivo di individuare, la condizione che minimizza il costo totale della gestione del sistema, nelle due componenti, ovvero il costo dell’attesa e del servizio reso.

Elementi caratteristici di un sistema a coda

Nella seguente slide sono mostrati gli elementi caratteristici di un sistema a coda.

1. Nella parte di destra del grafico abbiamo il sistema che si compone del punto di erogazione del servizio, come lo sportello dell’ufficio postale, dove il cliente riceve il servizio, ma anche è anche la parte della coda, che può formarsi ad esempio davanti alla cassa del supermercato.

Il sistema è dato quindi dal punto di erogazione del servizio e dalla coda che eventualmente può formarsi nel sistema. Nel momento in cui il cliente ha ricevuto il servizio richiesto procede all’uscita dal sistema.

Dal punto di vista della soddisfazione dei clienti, il punto che eroga il servizio ha una variabilità legata al tempo necessario per effettuare una particolare operazione. Il tempo per erogare un servizio, o meglio il numero di servizi erogati nell’unità di tempo, in generale è variabile, ed è legata a chi eroga il servizio ma anche alla tipologia di servizio stesso.

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2. Nella parte sinistra del diagramma troviamo invece la sorgente delle richieste di servizio che rappresenta la modalità con cui vengono generate le richieste di servizio. Il gestore del sistema su base statistica deve quindi individuare l’afflusso orario al suo sistema per poterlo gestire al meglio.

La sorgente delle richieste al servizio pertanto fornisce esattamente questo tipo di informazione, ovvero il tempo che intercorre tra l’arrivo di un cliente e di quello successivo.

Nella realtà quindi sia il numero di clienti che ricevono il servizio nell’unità di tempo, che il numero di servizi erogati nell’unità di tempo possono essere variabili e in qualche modo il gestore è chiamato a definire le leggi che regolano il tempo che intercorre tra l’arrivo di due clienti successivi e il tempo necessario per poter erogare la prestazione richiesta dal singolo cliente in modo da minimizzare i costi.

Tipologie di sistemi a coda

La slide mostrata riporta le tipologie di sistemi a coda che possiamo incontrare. Ciò che differenzia le 4 tipologie mostrate sono i canali e le fasi.

Il numero di canali è il numero di stazioni che possono erogare contemporaneamente il servizio. La fase indica invece il numero di canali che il cliente deve superare per ottenere il servizio e uscire poi dal sistema.

Il primo tipo, un canale ad una fase, è quello che essenzialmente accade nel prelevare denaro. L’utente va al bancomat, che è il canale, svolge l’operazione di prelievo e ottiene il denaro.

Il secondo caso vede canale singolo ma più fasi, qui l’utente è costretto a svolgere più operazioni in canali distinti per ottenere il servizio, come nel caso della volontà di aprire un conto corrente, in quanto incorre prima necessità di una consulenza (fase 1) e poi l’apertura del conto corrente (fase 2).

Il terzo modello è quello con una fase ma molteplici canali come accade nel caso in cui dobbiamo pagare alla cassa del supermercato. Un aspetto importante che dobbiamo valutare è che il cliente medio introduce nel sistema un fattore umano definito comportamento umano della coda, in quanto può:

• Cambiare cassa in modo da risparmiare tempo nella sua ottica.
• Andare via senza acquistare nulla perché non vuole attendere la coda.
• Fare un giro anziché accodarsi in modo che la coda un po' defluisca.

Tutti questi comportamenti introducono un fattore umano nella coda che diventa quindi un fenomeno difficilmente modellizzabile da parte del gestore.

Il quarto caso è il più complesso e si genera ad esempio nelle catene di montaggio in cui ogni stazione (fase) è caratterizzata da più operatori (canali). Questo tipo di sistema è identificabile con quello che accade nei reparti produttivi organizzati per reparto, che sono caratterizzati come sappiamo da una maggiore flessibilità sulla produzione ma minore quantità di produzione, al contrario di quanto accade nei sistemi di produttivi 2 Data Materia Autore Progettazione di Impianti Industriali 1° marzo 2021 Simonetti Andrea Titolo Teoria delle Code organizzati per prodotto che sono meno flessibili ma hanno la capacità di arrivare a livelli di produzione maggiori.

Studio della teoria della coda

Procediamo quindi con lo studio della teoria della coda, analizzando il seguente schema, in cui sulle X troviamo l’asse dei tempi mentre i triangolini rappresentano l’arrivo potenziale dei clienti al nostro sistema in 3 giorni diversi.

La prima differenza tra i diversi giorni è data innanzitutto dal fatto che nel giorno 1 abbiamo 27 arrivi, nel secondo giorno 21 e nel terzo 19. Inoltre, dato che in ogni giornata la distanza tra i triangoli rappresenta il tempo che intercorre tra l’arrivo di un cliente e l’arrivo del successivo possiamo notare che in ognuno dei giorni valutati sono identificabili fasce orarie in cui gli ingressi al sistema sono maggiormente concentrati.

Definito ciò possiamo analizzare il grafico al lato in cui i 3 presenti diagrammi invece mostrano il tempo di erogazione del servizio nei 3 giorni diversi per ognuno dei clienti che sono entrati nel sistema. Come possiamo vedere e come già detto, il tempo per erogare il servizio è tutt’altro che costante, e varia in base al tipo di operazione e all’operatore che eroga il servizio.

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L’obiettivo ad ogni modo è quello di capire quale curve e funzioni possiamo usare per modellizzare il sistema coda o meglio per modellizzare le due variabili:

1. Tempo che intercorre tra l’arrivo di due clienti.
2. Tempo di erogazione del servizio.

Tali variabili possono essere modellizzate mediante l’uso della distribuzione esponenziale negativa, indicata con la sigla PDF (probability density function) che è mostrata in figura ed a cui è sovrapposta la cumulative density function CDF che altro non che l’integrale generale della densità di probabilità.

La funzione PDF è rappresentata dalla funzione:

In cui t è il tempo, mentre la CDF sarà: →

Il parametro E(t) indica il valore atteso (E Expected) del tempo che intercorre tra  l’arrivo di in cliente e dei quello successivo, pertanto è la frequenza di arrivo dei clienti, ovvero il numero medio di arrivi nell’unità di tempo.

 → Se ho come 1 arrivo medio ogni 10 minuti allora in un ora mediamente ho 6 arrivi.

 2 2 la variante è invece pari a 1/.

Questa tipologia di distribuzione può essere usata per descrivere sia le modalità di come i clienti si accodano al sistema ma anche la modalità con la quale i servizi vengono erogati. La differenza giace nel    fatto che cambieremo il nome al parametro da a.

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Distribuzione di Poisson

Il grafico in figura mostra la distribuzione di Poisson che è numericamente rappresentata da:

E rappresenta la probabilità che in certo intervallo di tempo, di estensione t, si verifichino n eventi quando il tempo di verificarsi dell’evento sia caratterizzato da una distribuzione esponenziale negativa, f(t).

Partendo dall’esempio precedente, qual è la possibilità che in 45 minuti entrino 8 clienti?

 → 1 cliente ogni 10 minuti ovvero 6 arrivi/ora → t 45 minuti ovvero 0.75 ore → n 8 clienti.

Allora p (t) mi dice la possibilità che in 45 minuti possano entrare nel supermercato 8 clienti. Come chiaro tale affluenza è sopra alla media, che sarebbe di 4.5 clienti ogni 45 minuti, pertanto tale fenomeno avrà una bassa probabilità di realizzarsi che però non è nulla.

Misure di prestazione

Vediamo ora le classiche misure di prestazione che definiscono i sistemi a coda:

1. Il numero medio di clienti in attesa, in coda o nel sistema in quanto se ci sono troppe persone in coda alla cassa di supermercato ad esempio è sintomo di bassa efficienza.
2. Il tempo medio di attesa del cliente, in coda o nel sistema tenendo conto che il tempo medio di permanenza nel sistema è dato dal tempo medio di attesa in coda e il tempo medio di erogazione del servizio.
3. Il tasso di utilizzo del sistema, riferito alla percentuale di capacità utilizzata. Se il gestore del sistema mantenesse attivi 10 canali quando all’interno del sistema ci sono 30 clienti ci sarebbe uno spreco di lavoro del personale che invece sarebbe necessario nel caso in cui nel sistema fossero presenti 300 clienti.
4. Il costo complessivo di gestione del sistema, legato alla efficienza del servizio reso che abbiamo visto nelle slide precedenti.
5. La probabilità che un cliente in arrivo nel sistema debba attendere prima di ricevere il servizio richiesto, ovvero la probabilità che all’arrivo del cliente nel sistema non ci sia nessuno ad erogare il servizio.

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Discipline di gestione

Le discipline di gestione rappresentano le modalità con le quali il cliente viene servito e possono essere:

1. FIFO (First In First Out) che è il sistema che si esercita con il numero che ti rappresenta, come in posta. Chi entra per primo è anche il primo a cui viene erogato il servizio.
2. LIFO (Last In First Out) gestione tipica dei magazzini di stoccaggio di prodotti non deperibili. Non tutti i magazzini ad ogni modo usano questa modalità.
3. SIRO (Service In Random Order) gestione che genera caos ed è altamente sconsigliata.
4. Gestite in base alla priorità dei clienti l’ultima tipologia di modalità con cui il servizio viene erogato, in cui l’erogazione del servizio viene valutata in base alla priorità del cliente, come al pronto soccorso o come in posta in cui un correntista ha priorità su una persona che non detiene un conto nelle poste. Per evitare che chi ha bassa priorità subisca tempi di attesa molto lunghi è necessario imporre un tetto massimo di attesa per cui successivamente scatta la priorità e il cliente viene servito.

Relazioni fondamentali per gestire i clienti

Vediamo quindi le relazioni fondamentali per gestire i clienti.

1. Il numero medio di clienti serviti   .

Tale parametro non è molto utilizzato ed è il rapporto tra con:

•  la frequenza con cui arrivano i clienti nel sistema nell’unità di tempo.
•  che è la frequenza con cui vengono evasi servizi nel sistema nell’unità di tempo.

→ Se r>1 il sistema non è condizioni stazionarie e la coda cresce con tendenza infinita.

  Per evitare la situazione di coda infinita non potendo variare né né è necessario aumentare il numero di canali, c, andando ad erogare in parallelo in più punti il medesimo servizio.

→ Se r<1 il sistema è in una condizione stazionaria perché riesco a servire tutti i clienti senza problemi e code.

2. Il numero medio di presenze nel sistema.

È un parametro molto utile perché mi permette di capire il totale degli utenti presenti in media nel sistema ed è calcolato come la somma della probabilità di avere n clienti per il numero di clienti estendendo la somma ad ogni evento possibile.

3. Il numero medio di presenze in coda.

La coda in un sistema si crea quando il numero delle presenze dei clienti è maggiore del numero dei canali, c. Per tale motivazione il numero medio di presenze in coda è pari alla somma per ogni eventualità del prodotto tra n-c e la probabilità che si ci siano nel sistema n clienti.

Se n < c nel sistema non si crea coda e Lq = 0. Per tale motivazione la sommatoria parte dal valore di n=c.

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4. Il tempo medio di permanenza in coda.

Tale funzione è dimostrabile ma la prendiamo per buona e ci permette di determinare il tempo medio di permanenza in coda del cliente a partire dalla frequenza di entrata dei clienti nell’unità di tempo e il numero di clienti in coda.

5. Il tempo medio di permanenza nel sistema.

Tale funzione è dimostrabile ma la prendiamo per buona che ci permette di determinare il tempo medio di permanenza nel sistema del cliente a partire dalla frequenza di entrata dei clienti nell’unità di tempo e il numero di clienti nel sistema.

A rigor di logica Ws è pari a Wq, ovvero il tempo di permanenza in coda più il tempo di erogazione del   servizio, pari al reciproco di.

6. Il tasso di utilizzo del sistema.

Tale parametro è fondamentale, in quanto ci permette di capire se con quelle caratteristiche il sistema può avere una condizione stazionaria (<1) o meno (>1) ovvero si forma una coda crescente perché la frequenza di erogazione del servizio è minore della frequenza di arrivo dei clienti.

Classificazione dei sistemi di coda

Proseguiamo definendo la classificazione dei sistemi di coda che viene effettuata servendoci di due triplette di valori. La prima con i parametri a-b-c e la seconda con i parametri d-e-f.

Nella prima tripletta, sempre presente, il primo parametro, a, indica qual sia la distribuzione dei tempi di arrivo dei clienti al sistema. Il secondo parametro, b, gestisce la distribuzione dei tempi di servizio e il terzo parametro, c, indicatore rappresenta il numero di canali che erogano il servizio.

Se la distruzione dei tempi di arrivo dei clienti e/o di erogazione del servizio sono rappresentate mediante la distribuzione esponenziale negativa il parametro che le rappresenta viene specificato come m.

La seconda tripletta di parametri, che potrebbe anche essere omessa, si compone di 3 parametri in cui, la d indica la disciplina di gestione del sistema e se non è indicata di default la disciplina risulta essere pari a quella generale di FIRST IN FIRST OUT.

La seconda lettera, e, indicata il numero massimo di presenze nel sistema mentre la terza ed ultima lettera, la f, indicata la dimensione della sorgente che può generare le richieste di servizio.

Quindi se non diversamente indicato o in caso di assenza di questa tripletta assumeremo che il sistema è gestito con disciplina first in first out, FIFO, e che il sistema abbia la possibilità di avere infinite presenze e che la sorgente che genera le richieste di servizio possa generarne un numero infinito.

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Esempio di introduzione al problema del manutentore

Esempio di introduzione al problema del manutentore:

Immaginiamo di essere all’interno di un’azienda in cui si hanno 10 linee produttive che operano e si vuole studiare la manutenzione di queste applicando il modello della teoria delle code. Nella situazione più complessa il numero di linee ferme per guasto sono esattamente 10 linee guaste e in tale condizione non potrebbero essere aggiunge richieste di intervento perché tutte le richieste di manutenzione sono state già evase.

Questo particolare problema indicato come problema del manutentore ha quindi un numero massimo di utenti nel sistema, che pertanto non sarà pari ad infinito, e allo stesso modo la sorgente che genera le richieste di servizio, in questo caso richieste di servizio di manutenzione, non può generare infinite richieste.

In un ufficio postale questa situazione non può essere ricreata a meno che non si imponga un numero massimo di clienti in una giornata.

Prima di continuare il problema del manutentore vediamo una panoramica delle tipologie di sistema a coda. L’unico che verrà chiesto in sede di esame è quello monocanale.

1. Nel caso mostrato abbiamo che la distribuzione del tempo di arrivo e di erogazione dei servizi seguono una distribuzione esponenziale negativa. È presente un unico canale di erogazione del servizio e