Geotecnica - Spinta delle Terre

Cap 13: Spinta delle terre

Premessa

La spinta delle terre è la spinta esercitata da un terreno sopra un’opera di sostegno. Per determinare la spinta delle terre si usano due teorie storiche:

1. Rankine
2. Coulomb

Queste due teorie fanno uso di superfici di scorrimento piane, ma in realtà le superfici di scorrimento sono in parte curvilinee per l’attrito tra il terreno e la parete. Dunque, almeno nel calcolo della spinta passiva, è meglio usare teorie che usano superfici di scorrimento curvilinee, come quella di Caquot e Kérisel.

Teoria di Rankine

Ho un punto A alla profondità z di un deposito di terreno. Il terreno è delimitato superiormente da una superficie piana.

Ipotesi semplificatrici

• Terreno incoerente c' = 0
• Terreno omogeneo
• Terreno asciutto
• Superficie orizzontale

In tali circostanze lo stato di tensione è assial-simmetrico, e poiché u_w = 0 ⇒ σ = σ'.

• Nel punto A agiscono: σ’_vo = γZ, σ’_ho = K_oσ’_vo
• Di norma K_o < 1, dunque: σ’_vo = σ’₁, σ’_ho = σ’₃
• Se il terreno ha resistenza al taglio definito dal criterio di Mohr-Coulomb (τ = σ’tg φ’), la situazione tensionale nel punto A è la seguente: la rottura non è raggiunta in alcun punto. A questo inseriamo a destra e a sinistra di A, due pareti verticali ideali, cioè che non modificano lo stato tensionale del terreno.

Sui due lati di ciascuna parete, si esercita una pressione. Essa vale: σ’_ho·K_oγZ

La spinta presente sui due lati di ciascuna parete vale:

• S_o = ∫₀^H σ’_hodz = ¹/₂ K_oγH²
• La retta d'azione di S_o è applicata in: Z_o = ∫₀^H σ’_ho·Z·dz / S_o = ²/₃ H

Allontaniamo gradualmente le due pareti l'una dall'altra. Le tensioni verticali e orizzontali sono ancora principali, però ----σ’_vo = γZ non varia, σ’_ho = si riduce progressivamente. Il cerchio di Mohr cambia come in figura. σ’_ho si riduce fino al valore minimo compatibile con l'equilibrio: tensione limite attiva.

Tensione limite attiva

Ora, FC = OC·σ_nφ’½ (σ’_v0 - σ’_hA) = -½ (σ’_v0 + σ’_hA)·σ_nφ’σ’_hA (1 + σ_nφ’) = σ’_v0 (1 - σ_nφ’). σ’_hA = 1-σ_nφ’/1+σ_nφ’ · σ’_v0 => σ’_hA = tg²(π/4 - φ’₂) · σ’_v0.

Dunque: K_a = 1-σ_nφ’/1+σ_nφ’ = tg²(π/4 - φ’₂), coefficiente di spinta attiva. E σ’_hA = K_a σ’_v0.

Considerazioni generali

Ora, la O’_crit e I_crit sono le coordinate dei punto F.I_crit agisce su un piano che è inclinato di π/4 + φ’₂ rispetto all'orizzontale. In caso di rottura il terreno scorre lungo questo piano.

E &sub>a, la spinta presente su ciascuna parete ideale lato interno, vale:

• S_a = ∫₀^H σ’_hadz = ½ K_aH²

Essa è applicata in Z_a = ⅔H.

Avviciniamo le due pareti l'una all'altra. σ’_v0 = costante e σ’_h0 cresce progressivamente fino al valore massimo compatibile con l'equilibrio. In tali condizioni: σ’_v0 = σ’₃ e σ’_hp = σ’₁, tensione limite passiva.

Ovvero:

• K_p = ^{1 + senϕ'}/_{1 - senϕ'} = tg²(^π/₄ + ϕ'₂) = ¹/_Ka, coefficiente di spinta passiva.

Le T_ca agiscono su piani che formano un angolo di (^π/₄ - ϕ'₂) con l'orizzontale. In condizioni di rottura in spinta passiva, il terreno scorre lungo questo piano.

E dunque S_p sui lati interni delle due pareti vale:

• S_p = ∫₀^H σ’_hp dz = ¹/₂ K_p γH²
• Z_p = ²/₃ H

Complicazioni

1. Movimento della parete: La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete. Inoltre le deformazioni necessarie per far cambiare σ’_ho dal valore σ’_ha sono molto più piccole di quelle necessarie per far cambiare σ’_ho al valore σ’_hp. Dunque, per il calcolo di S_p, è bene riferirsi non a ψ, ma a ψ a volume costante (quello per grandi deformazioni).
2. Inclinazione della superficie: Le ipotesi semplificatrici sono le stesse di prima, ma non la quarta. Il terreno è infatti delimitato da una superficie piana inclinata di un angolo β rispetto all'orizzontale. Ora, β le tensioni verticali e orizzontali non sono più tensioni principali.

Consideriamo un concio di terreno. La larghezza è b e l'altezza è z.

Azioni sul concio

1. Sulle superfici laterali ci sono forze S_v, uguali ed opposte. La loro retta d'azione è inclinata di β rispetto all'orizzontale e si elidono l'una con l'altra.
2. Il peso W, dove W = γzb.
3. La risultante delle tensioni normali alla base del concio: N = Wcosβ.
   La tensione normale alla base del concio è: σ_n = N/bcos²β = Wcos²β/b = γzcos²β/b.
4. La risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio: T = Wsinβ.
   La tensione tangenziale alla base del concio è: τ = T/bcosβ = Wcosβsinβ/b = γZsinβcosβ/b.

Nel piano di Mohr, il punto Q (σ′_n, τ) rappresenta la tensione agente sulla base del cunicolo, alla profondità Z e inclinata di β. Q appartiene alla retta di equazione σ′tanβ=τ.

σ′_n = γZcos²βOQ = γZcosβ = σ′_vo.

Ebbene, tutti i cerchi di Mohr passanti per Q e sottostanti la retta d’inviluppo a rottura sono stati di tensione compatibili con l’equilibrio. Si distinguono: stato limite inferiore e stato limite superiore.

OA = σ′_hA e OP = σ′_hP perché A e P sono i poli dei rispettivi cerchi.

Calcolo

Vediamo di calcolare O′_hA e O′_hP (Basandoci sul grafico dell'altra pagina). Lettura: O′_hA = OA = OB - AB OA = δZcosβ - OB + BQ = OB + AB

Dunque δZcosβ / (OB + AB) = 1. O'A = (OB - AB) / (OB + AB) γZcosβ.

Trasformiamo OB e AB: OB = OCcosβ; AC = EC

AB = √(AC² - BC²) = √((OCsinφ)² + (OCsinβ)²)

O′_hA = K_Aσ′O, dove K_A = ƒ(φ, β) e σ′O = δZcosβ.

SA = 1/2 K_AγcosβZ².

Analogamente per S_p.

Presenza della coesione

Tutte le ipotesi semplificatrici sono valide tranne la prima, C ≠ 0. In tali circostanze:

Z = c' + σ′₃ tg.

• σ′₁ = σ′₃ tg²(π/4 + /2) + 2c' tg(π/4 + /2)
• σ′₃ = σ′₁ tg(π/4 - /2) - 2c' tg(π/4 - /2)

Dunque: σ’_ha = Z_KA - 2c’^1/2√K_A. Dove Z_c = Z T.C. σ’_ha = 0. Z_c = 2c’/√K_A. Per Z < Z_c => σ’_h = 0.

σ’_hup = Z_Kp + 2c’^1/2√K_p

S_p = S_p1 + S_p2 = 2c’√K_p z + 1/2 δ z² K_p.

Z_p = S_p1 z/2 + S_p2 2/3 z / S_p.

Terreno a strati

In questo caso, la spinta totale è la somma dei contributi di ogni strato. Ovvero: il generico strato di spessore H_i, posto tra Z_i e Z_i-1, esercita contro la parete ideale una spinta S_i, applicata nel baricentro dell’area del diagramma delle pressioni orizzontali. La somma delle varie S_i, dà S_tot.

Quanto vale S_i? S_i = area trapezio → (Base max + Base min) x H/2

Quanto valgono base maggiore e minore?