Geometria piana - Cos'è

La geometria piana

Che cos'è la geometria piana? La geometria piana (o euclidea) è la materia che studia le interazioni tra gli enti geometrici.

Gli enti geometrici vengono descritti attraverso definizioni; se i termini usati nelle definizioni non sono conosciuti, si devono dare altre definizioni. Per evitare di ripetere questo processo all’infinito si deve supporre che alcuni enti non possano essere definiti, ma siano accettati come noti. Il punto, la retta e il piano sono detti enti primitivi.

Stabilendo questa cosa, Euclide, colui che ha scoperto la geometria, sperava che le generazioni future accettassero il fatto di non poter definire il punto, la retta e il piano come aveva fatto lui.

Gli enti geometrici

• La retta e il piano sono insiemi di punti.
• Un insieme di qualsiasi punti costituisce una figura geometrica.
• Lo spazio è l’insieme di tutti i punti e contiene tutte le figure.
• Una figura che appartiene a un piano si chiama figura piana, altrimenti figura solida.

I teoremi

I teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai postulati o da altri teoremi, e presentano le formule fisse “se… allora…”.

I postulati

I postulati sono proprietà primitive, cioè che non sono state dedotte e vengono accettate come vere. I postulati di appartenenza sono detti definizioni implicite, poiché ci dicono di più sugli enti primitivi (punto, retta e piano). Alcuni dei postulati di appartenenza sono:

• A una retta appartengono almeno due punti distinti, a un piano almeno tre punti distinti e non allineati.
• Due punti distinti appartengono a una e una sola retta.
• Tre punti distinti e non allineati appartengono a uno e un solo piano.
• Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
• Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene a un piano.

I postulati d’ordine

Ogni retta può essere orientata stabilendo un verso; percorrendola in questa direzione, valgono i postulati di appartenenza:

• Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A.
• Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
• Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
• Presi due punti A e B su una retta, con A che precede B, c’è almeno un punto C che segue A e precede B.

Le semirette

Data una retta orientata su un punto 0, chiamiamo semiretta l’insieme formato da 0 e tutti i punti che lo seguono.

I segmenti

Data una retta orientata e due suoi punti A e B, con A che precede B, chiamiamo segmento AB l’insieme dei punti della retta formato da A e B, e tutti i punti che seguono A e precedono B.

Figure concave e convesse

Una figura è convessa se due dei suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contenuto nella figura.

Una figura è concava se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contenuto nella figura.

Gli angoli

Gli angoli sono porzioni di piano delimitate da due rette incidenti.

I poligoni

I poligoni sono una successione di segmenti tale che il secondo estremo del primo segmento sia il primo del secondo. Il poligono si dice aperto quando non è chiuso, chiuso quando il secondo estremo dell’ultimo segmento coincide col primo estremo del primo segmento.